数学の問題がどうしてもわかりません。

円に内接する四角形ABCDがあり、対角線ACとBDは垂直でこの四角形の、面積は50/9である。ACとBDの交点をEとし、角BAE=45°、AE=1、EC=aとすれば、aの値は何か。またこの円の半径は何か。

この問題がどうしてもわかりません。

対角線が垂直ということなので、四角形ABCDは正方形になってしまうと思うのですが、そうするとaの値が1になってしまい、混乱してわからなくなってしましました。

解答と解説をお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/30 23:47

No.3，No.4です。

度々失礼します。

対角線が垂直ということなので、四角形ABCDは正方形になってしまうと思うのですが、
>そうするとaの値が1になってしまい、混乱してわからなくなってしましました。
問題がＥＣ＝ａなのであれば、以下のように訂正をお願いします。

よって、ＥＣ＝ＥＤ＝ａとおきます。
図から
内接四角形の面積＝△ＡＢＣ＋△ＡＤＣ＝５０／９
（３）より、
△ＡＢＣ面積＝（１／２）×（１＋ａ）×１
△ＡＤＣ面積＝（１／２）×（１＋ａ）×ａ
△ＡＢＣ＋△ＡＤＣ
＝（１／２）×（１＋ａ）×１＋（１／２）×（１＋ａ）×ａ
＝（１／２）（１＋ａ）^2
＝５０／９　より、
（１＋ａ）^2＝１００／９
１＋ａ＝１０／３だから、ａ＝７／３　……（４）

△ＢＣＥで、（３）（４）より、
ＢＣ2＝ＢＥ^2＋ＥＣ^2
　　＝１^2＋（７／３）^2
　　＝５８／９
円の中心をＯとする。
△ＢＯＣで、半径ＢＯ＝ＣＯ＝Ｒとする。
∠ＢＯＣは45°の円周角の中心角だから、∠ＢＯＣ＝45°×２＝９０°
だから、Ｒ^2＋Ｒ^2＝ＢＣ^2　が成り立つ。
２Ｒ^2＝５８／９　Ｒ^2＝２９／９
よって、円の半径Ｒ＝√２９／３　

ｘをａに、ａをＢＣに書き換えて下さい。度々申し訳ありません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

何度も回答していただきありがとうございました。
それに、とてもわかりやすかったです。

ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/31 16:20

No.4 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/30 22:53

No.3です。

問題の確認をお願いします。

>AE=1、EC=aとすれば、aの値は何か。またこの円の半径は何か。

のところ、ＢＣ＝ａではありませんか？ＢＣの長さが分からないと円の半径が出せませんが。。。

No.3 回答者： ferien 回答日時： 2012/01/30 22:43

円に内接する四角形ABCDがあり、対角線ACとBDは垂直でこの四角形の、面積は50/9である。

ACとBDの交点をEとし、角BAE=45°、AE=1、EC=aとすれば、aの値は何か。またこの円の半径は何か。

この問題がどうしてもわかりません。

対角線が垂直ということなので、四角形ABCDは正方形になってしまうと思うのですが、そうするとaの値が1になってしまい、
>混乱してわからなくなってしましました。

対角線が垂直というだけでは正方形になるとは決められません。
さらに４つの辺が等しければひし形か正方形、さらに４つの角が等しければ正方形です
円に内接するというところが大事なので、円に内接する対角線ACとBDが垂直である四角形の図を
きちんと描いて考えてみて下さい。角BAE=45°から、直角二等辺三角形が図の中に出てきます。
面積は50/9という条件を使ってaの値を求めます。ａの値から円の半径が求まります。

△ＡＢＥで、対角線ACとBDは垂直だから、∠ＡＥＢ＝９０°
∠BAE=45°　……（１）だから、残りの角∠ＡＢＥ=45°　…（２）です。
だから、△ＡＢＥは直角二等辺三角形
よって、ＢＥ＝ＡＥ＝１　……（３）です。
△ＥＣＤについて考えます。
（１）より弧ＢＣ上の円周角だから、∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝45°
（２）より弧ＡＤ上の円周角だから、∠ＡＢＤ＝∠ＡＣＤ＝45°
以上より、∠ＥＣＤ＝∠ＥＤＣ＝45°だから
△ＥＣＤは直角二等辺三角形
よって、ＥＣ＝ＥＤ＝ｘとおきます。
図から
内接四角形の面積＝△ＡＢＣ＋△ＡＤＣ＝５０／９
（３）より、
△ＡＢＣ面積＝（１／２）×（１＋ｘ）×１
△ＡＤＣ面積＝（１／２）×（１＋ｘ）×ｘ
△ＡＢＣ＋△ＡＤＣ
＝（１／２）×（１＋ｘ）×１＋（１／２）×（１＋ｘ）×ｘ
＝（１／２）（１＋ｘ）^2
＝５０／９　より、
（１＋ｘ）^2＝１００／９
１＋ｘ＝１０／３だから、ｘ＝７／３　……（４）

△ＢＣＥで、（３）（４）より、
ａ^2＝ＢＥ^2＋ＥＣ^2
　　＝１^2＋（７／３）^2
　　＝５８／９
よって、ａ＝√５８／３　

円の中心をＯとする。
△ＢＯＣで、半径ＢＯ＝ＣＯ＝Ｒとする。
∠ＢＯＣは45°の円周角の中心角だから、∠ＢＯＣ＝45°×２＝９０°
だから、Ｒ^2＋Ｒ^2＝ａ^2　が成り立つ。
２Ｒ^2＝５８／９　Ｒ^2＝２９／９
よって、円の半径Ｒ＝√２９／３　

＊実はこれと同じ問題に解答したことがあるのですが、（連絡がないので）正解かどうかは分かりません。答えが間違ってるとか何かあったらできれば連絡をお願いします。

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/01/30 22:36

まず，問題の条件を正確に図に描くこと。

四角形は正方形とは限りませんよ。
続いて，何が分かるか，図を見て考えること。
∠BAE=45゜からいろんなことが分かりますねぇ。
そうすると4つある三角形の面積がそれぞれaで表せて，面積50/9からaが決まる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

回答の通り図をちゃんと見ることが大切だとわかりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/31 16:23

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/01/30 22:28

>対角線が垂直ということなので、四角形ABCDは正方形になってしまうと思うのですが、そうするとaの値が1になってしまい、混乱してわからなくなってしましました。

台形になります。勿論a=1なら台形の特殊の場合として正方形になります。

図を描くと添付図のようになる。
図で辺の長さや45°の円周角を書き込んで行くと台形であることが分かります。
図より
AC=BD=1+a,AC⊥BDとなるから
四角形ABCD=(1+a)~2/2=50/9
(1+a)^2=100/9
1+a=10/3
a=7/3

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

添付つきの回答でとてもありがたいと思ったのですが、私の携帯が対応していないのか、見ることができませんでした。申し訳ありません。
でも、式があったのでわかりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2012/01/31 16:26