中間値の定理について

中間値の定理は
f(a)とf(b)の符号が異なれば(a,b)に少なくとも1つは解をもつ

ですよね?

この時f(x)が単調増加または単調減少ならば解はちょうど一つに限られますよね?
これは中間値の定理に含まれませんか?
証明なしに用いてもよいのでしょうか…

No.1 ベストアンサー 回答者： WiredLogic 回答日時： 2012/02/15 23:36

＞この時f(x)が単調増加または単調減少ならば解はちょうど一つに限られますよね?

＞これは中間値の定理に含まれませんか?
＞証明なしに用いてもよいのでしょうか…

中間値の定理には、含まれませんが、
証明なしで用いても大丈夫です。

そのことを証明せよ、という問題でなければ、

一々、中間値の定理により、などと書かなくても、

f(x)は区間a≦x≦bで単調増加(減少)し、f(a)・f(b)＜0だから、
f(x)=0は、a＜x＜bに、ただ１つ解を持つ、

などのように書くだけで大丈夫ですよ。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/16 13:53

中間値定理⇒解が存る(何個かは不明)

単調性⇒2個以上はない(1個か0個かは不明)
の二つを併せて、⇒解が一つある
ということですけどね。

高校教程では、極限をきちんと定義しないから、
連続性もイメージだけで話が終わってしまいます。
教科書を見ると、むしろ中間値定理を連続性の
定義にしているような印象もありますね。
それならそれで、そう明言してしまえば、
かえって面白いのですが。

No.5 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/02/16 01:02

４の補足

う
中間値の定理って

実数直線 R の閉区間 I = [a, b] 上で定義される連続な実数値関数 f が f(a) < f(b) を満たすとき、閉区間 [f(a), f(b)] 内の任意の点 γ に対して、γ = f(c) となる I 内の点 c が存在する。



です。　符号は出てきません。

それと　単調増加であっても　証明は面倒です　　中間値の定理の証明には　連結という概念を使います。

No.4 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/02/16 00:52

単調増加であっても　f が　連続関数でないと　成り立たないですよ。

でもこの連続性の部分は、高校数学ではやってないので、破綻すると思いますが。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2012/02/15 23:59

f が単調なら、x≠y ⇒ f(x)≠f(y) だから、

f(x)=定数 の解は二個以上はありませんね。
敢えて言及するならば、「中間値定理より」ではなく、
「単調性の定義より」になるでしょうが、
この程度は、一々証明しなくても、
黙って使って許されるでしょう。
話の腰が折れてしまいますからね。

No.2 回答者： sub_6 回答日時： 2012/02/15 23:53

証明は無くても大丈夫だとは思います。

証明を書くならば

「中間値の定理による f(x) = 0 の解をyとおく。
f　が(狭義の)単調増加関数なので
y < x ⇒ 0 < f(x) 、x < y ⇒ f(x) < 0 よって x≠y ⇒ f(x) ≠ 0」

のような感じです。