数学的帰納法の問題

1+4+7+‥‥+(3n-2)=1/2(3n-1)
の問題を面倒ですが解説つきで
教えて頂きたいんです…

よろしくお願いします(__)

No.1 回答者： Doctork1n4d1 回答日時： 2012/03/06 22:22

数学的帰納法と書いてありますが、等差数列の和の問題ですよね。

一般項が 3n-2 となっていますから、これにΣを付けてあとは公式です。

Σ(3a-2)でa=1からa=nです。
Σ(3a-2) = Σ3a-Σ2=3Σa-Σ2=3×(1/2)｛n(n+1)｝-2n=(3n^2/2)-(n/2)=(n/2)(3n-1)

回答手順としてはこんな感じです。
解いてみて気付きましたが、記述の答え間違っていませんか？
mmm013さんの右辺ではn=3の時に12にはなりませんよね。
恐らく私が出した答えが正しいと思います。
シグマの正式な記述はこのサイトでは打ち込めませんので御了承下さい。
何かピンポイントで分からないところがあればまた聞いて下さい。
教科書の数列分野のΣ硬式のところを見ればよいと思います。

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/03/06 22:32

これって帰納法の問題なんですかね～。

まあ帰納法でもいいとは思いますが。

１＋４＋７＋・・・・＋（３ｎ－２）＝（３－２）＋（６－２）＋（９－２）＋・・・＋（３ｎ－２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３＋６＋９＋・・・＋３ｎ－２ｎ
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝３ｎ（ｎ＋１）／２－２ｎ　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（３ｎ＾２－ｎ）／２
とすればいいと思うのですが。

あえて帰納法でやるなら、
ｎ＝１のとき左辺＝１、右辺も１なので等式が成り立つ

ｎ＝ｋのとき左辺が（３ｋ＾２－ｋ）／２であるとすると、
ｎ＝ｋ＋１のとき左辺は
（３ｋ＾２－ｋ）／２＋３（ｋ＋１）－２＝（３ｋ＾２－ｋ＋６（ｋ＋１）－４）／２
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝（３（ｋ＋１）＾２－（ｋ＋１））／２
となる、といったところでしょうか。

No.3 回答者： mitakawtat 回答日時： 2012/03/06 22:33

数学的帰納法の基本的なやりかたは、

(1)ｎ＝１を代入→成立
(2)ｎ＝ｋが成り立つと仮定する
(3)ｎ＝k＋１が成り立つことを証明する。

これを頭の中にいれておいてください。

問題
1+4+7+‥‥+(3n-2)=1/2(3n-1)

(1)ｎ＝１を代入
　（左辺）＝１
　（右辺）＝３×１ー２＝１
　　→成立する。

(2)ｎ＝ｋが成り立つことを仮定する
1+4+7+‥‥+(3ｋ-2)=1/2(3ｋ-1)
この等式が正しいと仮定します。


(3)　n=k＋１の時、1+4+7+‥‥+(3ｋ+1)=1/2(3ｋ+2)を証明します。

　　(2)の（右辺）＋｛3(k+1)-2｝
　　＝1+4+7+‥‥+(3ｋ-2)＋｛3(k+1)-2｝
　　＝1/2(3ｋ-1)　　　←数列ｋの等差数列の和の公式（初項＋末項）/2を使いました。
　　
以上より証明した。


数学的帰納法はｋ項とｋ＋１項の関係を求めてることによって、ｋ＝１、2、３、、、、。と代入していくとすべてを証明することになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます

長文とさせてしまって
申し訳ありません。。
分かりやすい説明で解き方が
理解できました(>_<)

とても助かりました
ありがとうございました＾

お礼日時：2012/03/06 23:14

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2012/03/06 23:10

A No.3 の (3) はマズイ。

証明すべき式が間違っている点は別にしても、
数学的帰納法の基本的なやりかたが解ってない
ことが、あまりにも明らかになっている。

(3) の部分の論旨は、A No.1 や A No.2 前半の
帰納法を使わない方法と同じになっており、
(3) の成立を示すのに (2) の仮定を使っていない。
つまり、帰納法ではない。

帰納法でやるなら、(2) を仮定した後、
(3)の左辺 = (2)の左辺 + (3(k+1)-2)
= (2)の右辺 + (3k+1) であることを述べて、
この最右辺が (3) の右辺に等しいことを
計算して見せればよい。

ともかく、数学的帰納法とは、ある命題が
(a) n=1 のとき成立する」
(b) n=k のとき成立すると仮定すれば、
n=k+1 のときも成立する」
…の (a)(b) によって、全ての自然数 n で
成立すると結論することを言う。

(b) を (2)(3) に分けてしまった時点で、
恐らく、やるべきことを見失っている。