水槽から水が流れ出る時の、水の体積の式

底にS[m2]の穴が開いた底面積A[m2]の水槽の中にV[m3]の水が入っているとして、t秒後の水の体積V(t)[m3]をtの式で表したいのです。

ベルヌーイの定理より
(1/2)ρv^2=圧力=ρgh
v=sqrt(2gh)=sqrt(2gV(t)/A)
即ち、時間tの時点の流量はSsqrt(2gV(t)/A)[m3/s]となる。

までは分かるのですが、その後どのように解いていけばよいのか分かりません。

お手数ですが、解き方を(あるいはどのような式を使えば解けるのかだけでも)教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/04/02 14:51

変数名 V が、ゴッチャになっているような気がする。

ベルヌーイの法則の v は、流速だから…

水深を h [m]、流速を u [m/s] と置いて、
ベルヌーイの法則より、(1/2)u^2 = gh.
水の質量保存から、ρAudt = ρS(-dh).
両式から u を消去して、h の微分方程式
dh/dt = -(A/S)√(2gh) を解くと、
√h - √h(0) = -t(A/S)√(g/2) となる。
式を体積 V で表すと、V = Sh より、
V(t) = S{ √(V(0)/S) - t(A/S)√(g/2) }^2.

この回答への補足

他の方が参照なさった時の為、一応、自分が解いた時の式を詳しく書いておきます。
alice_44氏の式とは、AとSが逆になっています。

水槽の底面積をA[m2]、開口部の面積をS[m2]、流れ始めてからt秒後の水槽内の水量をV(t)[m3]、水面の高さをh(t)[m]、流速をu(0)[m/s]と置く。
ベルヌーイの法則より(1/2)ρu(t)^2=ρgh(t)→u(t)=sqrt(2gh(t))
同時間の間に、流れ出る水量と水槽から失われる水量は、質量保存の法則から等しいので-ρAdh=ρSu(t)dt=ρS√(2gh(t))dt
この式を変形すると(h(t))^(-1/2)(dh/dt)=-(S/A)√(2g)
この式をtで積分すると2(h(t))^(1/2)=-(S/A)√(2g)t+C
h(t)=V(t)/Aなので
V(t)=A(C-(S/A)√(g/2)t)^2
t=0とするとV(0)=A(C)^2なので、C=√(V(0)/A)
∴V(t)=A(√(V(0)/A)-(S/A)√(g/2)t)^2

補足日時：2012/04/02 22:27

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

教えて頂いた通りに計算したら解けました！
本当にありがとうございます。

ベルヌーイの法則では、速度の変数はuを使うんですね。自分は大文字Vと小文字vで分けていましたが、確かに間違いやすいですね。

お礼日時：2012/04/02 22:23

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/04/01 22:10

流量は水槽中の水量の時間変化ですから、

ｄV（ｔ）／ｄｔ＝S√（２ｇV(t)／Ａ）
変数分離して
dV(t)/√V(t)＝S√(2g/A)・dt
両辺を積分して
2√V(t)=S√（2g/A)・ｔ＋積分定数
ｔ＝０のとき水槽内の水量はVなので
積分定数＝2√V

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

時間tの流量をSsqrt(2gV(t)/A)=Q(t)と置くと
V(t)=V(o)-∫<0,t>Q(t)
を解けばいいんですね。

自分ももう少し考えて見ます。

お礼日時：2012/04/01 22:49

No.1 回答者： CC_T 回答日時： 2012/04/01 21:13

その式で、時間０からtまでの積分とすればよいのでは？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2012/04/01 22:49