x＋y＋z＝５、3x＋y-15

x＋y＋z＝５、3x＋y-15を満たす任意のx、y、zに対して常にax²＋ｂy²＋ｃｚ²＝５²が成り立っている時定数a、ｂ、cを求めよ。

このときの、途中まではわかりますが


x＋y＋z＝5・・・・・・(1)
3x＋y－z＝－15・・・(2)
(1)＋(2)
4x+2y=-10
y=-2x-5・・・・(3)
(3)を(1)に代入
x-2x-5+z=5
z=x+10・・・・・(4)

ax＾2＋by＾2＋cz＾2＝5＾2
(3)、(4)を代入する
ax＾2＋b（-2x-5）＾2＋c（x+10）＾2＝5＾2
ax＾2＋b（４x＾２＋２０ｘ＋２5）＋c（x＾２＋２０ｘ+100）－２５＝０
(a+4b+c)x＾2＋20(b+c)x+25b＋100c－２５＝０

ここまで、

このときに、解説には
a+4b+c=0
a+3b=0
4a+9b-1=0

としているのですが
なぜ０なんですか。何と係数比較しているんですか

No.1 回答者： m0r1_2006 回答日時： 2012/04/29 15:34

そりゃ，

x^2, x^1, x^0 の係数が全て 0 です．
途中で計算間違っているか，
解説が正しくないかのどちらかです．

この回答への補足

何と係数比較をしてx^2, x^1, x^0 の係数が全て 0とわかるんでしょうか

補足日時：2012/04/29 15:40

No.2 回答者： asuncion 回答日時： 2012/04/29 16:02

＞(a+4b+c)x＾2＋20(b+c)x+25b＋100c－２５＝０

右辺は0で固定ですよね。このとき、xがどんな値であっても、左辺も同様に0になるには、
xの2次の項の係数も
xの1次の項の係数も
定数項も
すべて0でなければならない、という考え方については理解できますか？

No.3 回答者： matsu_jun 回答日時： 2012/04/29 16:21

nonstylelove さん、こんにちわ。

結論から言いますと、ax^2 ＋ by^2 ＋ cz^2 ＝ 0を、nonstyleloveさんのように、
aとbとcとx との式ではなく、aとbとcとz との式に変換すると登場します。

詳しい計算過程は省きますが、式(1)と(2)を用いて
　y=-2z+15
　x=z-10
を導けば、ax^2 ＋ by^2 ＋ cz^2 ＝ 0 は

(a+4b+c)z^2 - 20(a+3b)z + 25(4a+9b-1) = 0

となります。zの値に関わらず上の式が成り立つ条件は、z^0、z^1、z^2の係数が全て0、すなわち

　a+4b+c=0
　a+3b=0
　4a+9b-1=0

となりますね。


では、nonstyleloveさんの計算が誤っているかというと、そうではありません。
nonstyleloveさんの途中まで求めた式からは

　a+4b+c=0
　b+c=0
　b+4c-1=0

が得られると思いますが、いずれの連立方程式を解いても

　(a,b,c) = (1,-1/3,1/3)

となります。ご安心くださいね。



ちなみに、
　a+4b+c=0
　a+3b=0
　4a+9b-1=0
という解説を見たときに、「a」や「b」が3式とも登場するのに対して、「c」が登場する式が1つしかないことに着目すれば、
「ああ、cは、2乗の係数のみにしか登場しないのだな」
と想像が付き、そこから、xやyをzに置き換えているのだなと想像が付きます。

No.4 ベストアンサー 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/04/29 17:15

蛇足。

何と比較して？

うんこれは簡単。

＞(a+4b+c)x＾2＋20(b+c)x+25b＋100c－２５＝０


この式の右辺を　こう考えて？

（右辺）＝　０×ｘ＾２　＋　０×ｘ　＋　０　＝０

この係数と比較していると考えればいいんですよ

ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)