この問題を解いてください

Question

小笠原のある島のビーチに横たわっていると
西の水平線から飛行機雲が現れました
このジェット機は何分後に東の水平線下に消えるのでしょうか？

島のインフォメーション情報によると、ここの上空を通る定期飛行のジェット機は高度１万ｍを時速１０００KMで運航しているということです。

地球の全周は４万Kｍです。

funflier · Accepted Answer

No.３です。少し検証してみました。

この計算自体は三平方の定理（ピタゴラスの定理）に基づきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%94%E3%82%BF%E3%82%B4%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
地球半径＝Ｒ、観測者の観測高度＝ｈ、水平線距離＝Ｌ　とすると、
斜辺（Ｒ+ｈ）の直角三角形の他の２辺がＲとＬということになり、
（Ｒ+ｈ）＾2　＝Ｌ＾2　+　Ｒ＾2　なので、
地球半径＝40000ｋｍから　Ｒ＝40000÷π÷2　≒　6366.2　ｋｍ、
この問題で観測者は飛行機側とすると　ｈ＝10　ｋｍ　になります。
以上から、
（6366.2+10）＾2＝Ｌ＾2　+　6366.2＾2　で、Ｌは正なので
Ｌ＝√（40655926.44-40528502.44）＝√（127424）≒　357ｋｍ
で先の計算と一致します。

この「水平線」wiki の「x(m)=3570×√h(m)で算出」近似式の根拠は、
（Ｒ+ｈ）＾2　＝Ｌ＾2　+　Ｒ＾2　式より、
Ｌ＝√{（Ｒ+ｈ）＾2　-　Ｒ＾2　}＝√（２Ｒｈ＋ｈ＾２）、
ここで　地球半径と比較した観測者高度は　Ｒ≫ｈ　とみなしてしまえば、
（飛行機の10ｋｍにしても6366.2ｋｍからすれば　0.16％の関係）
Ｌ≒√（２Ｒｈ）＝√（2*6366200*ｈ）≒3570*√ｈ
ということになる様です。

実際に、357ｋｍ先の大きいといってもエアバスＡ380で翼幅80ｍの物体を視認
出来るかとか、大気状態とか、日没の太陽でも屈折によって理論時刻どおりに
ならないといった事はひとまず置いておいて、計算上ではそうなる、ということ
で合っていると思います。

今回にあたって、以下のようなサイトを参照しました。
http://www.page.sannet.ne.jp/ikenoue/type2/horizon/horizon.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4895893.html
http://fleshwords.web.fc2.com/dt/dt020.htm
http://www2s.biglobe.ne.jp/~matuteru/suumon/mondai08.htm

funflier · Answer

ここの計算方法で出せるかと思います。
水平線　wiki
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%B4%E5%B9%B3%E7%B7%9A

今、観測者は計算上の他の距離からすれば、ほぼ地面・海面に等しい高度
から飛行機を見ていると見なします。ここで逆に飛行機側から観測者が視界から
消える距離を考えれば、それは飛行機側から見た水平線の距離に他なりません。
そこで、
「観測者から水平線までの距離をx、観測者の海面からの目の高さをh（単位はm）
　とすると、x(m)=3570×√h(m)で算出できる。」から、観測者は飛行機とすると、
Ｘ（ｍ）＝3570　ｘ　√（10000）＝357000ｍ＝357ｋｍ　
なので、地上観測者直上から水平線までの飛行機側が地上観測者を見る事の出来る時間は
357ｋｍ÷1000ｋｍ／ｈ＝0.357ｈ＝21.42 min　≒　21分25秒
となり、問題は「西の水平線から現れて東の水平線に消えるまで」なので
この２倍、42分50秒　というのが私の答えです。
ところでこれ正解はあるのでしょうか？

nananotanu · Answer

もちろん、天体と違って飛行機は南中の位置により移動距離が変わることはないけどね。ま、「まっすぐ飛ぶんだよね？」の意味で・・・　　<<頭の真上を。。。

nananotanu · Answer

頭の真上を通るの???

なら地球の全周から半径足して、1000ｋｍ（KmでもKMでもないよ!!!!）足したら軌道の半径出るからそれの円周の半分を速度で割ったら？？？

浮き上がり効果とかはナシだよね？？

この問題を解いてください

No.３です。

この回答への補足

ここの計算方法で出せるかと思います。

この回答への補足

もちろん、天体と違って飛行機は南中の位置により移動距離が変わることはないけどね。

頭の真上を通るの???

この回答への補足

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