等比数列の和の公式の求め方について。

等比数列の和の公式を導くときに、
S_nに公比rを掛けて、S_n-rS_nを計算して、等比数列の和の公式を導きますよね。


それってなぜなのでしょうか？


普通、和を求めなさいって言われたら、前から順番に足します。
S_nにｒ倍して、S_n-rS_nをする方法なんて考えつきません。


回答よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/05/20 22:33

>普通、和を求めなさいって言われたら、前から順番に足します。

>S_nにｒ倍して、S_n-rS_nをする方法なんて考えつきません。

それをいい始めたら，等差数列の和だって同じでしょう

普通、和を求めなさいって言われたら、前から順番に足します。
S_nに逆に並べ替えて足す方法なんて考えつきません。

ということ．
昔の人が思いついたのでしょうとしかいえません．

逆にいうなら「あなたが自然だと思う方法」ってのはなんです？

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いろいろな見方があるけど・・・
等比数列ってのは a=1 としてもそれほど状況は変わらない
となると和は

1+r+r^2+・・・+r^n です．

これって・・・展開公式に似たのがあるでしょう？
＃ここがひらめき．

(1-r)(1+r+r^2)=1-r^3

つまり，(1-r)S_3=1-r^3
左辺を展開すると
S_3 - rS_3 = 1-r^3

ほら，「r倍して引く」がでてきた．

ある程度計算に習熟してれば

1+r+r^2+・・・+r^n

をみると

(1-r)(1+r+r^2+・・・+r^n)=1-r^n

ってのはすぐ思いつくんで，実はそれほど突飛でもないとは思う

まあ，これは結構あとづけだけどね

ほかにも，S_nそのものを数列だとみなして，隣り合う項を比較するのに

S_n = 1+r+r^2+・・・+r^{n-1}
S_n+1 = 1+r+r^2+・・・+r^{n-1}+r^{n}

ってならべてみて，方程式を解くときの
「文字を減らす」なんてお約束を実行しようとすると
rS_nを作るのは自然だと思う（だって係数がそろってて次数だけ違う「感じ」だから）

S_n = 1+r +r^2+・・・+r^{n-1}
rS_n = r+r^2+r^3+・・・+r^{n}
S_n+1 = 1+r +r^2+・・・+r^{n-1}+r^{n}←結局つかわなかった！

なんて列挙すれば，文字を減らすことを考えてれば
S_n-rS_nは自然だと思うけど，どうだろう

No.2 回答者： dormitory 回答日時： 2012/05/20 22:23

1から一つ一つ数える手間を考えるとどれだけ便利な方法かは分かりますよね。

私は、2S法にしてもS-Sr法にしても階差法、f(k+1)-(k)法にしても、発見した人間はやっぱり凄いな！って思います。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/05/20 21:12

＞S_nにｒ倍して、S_n-rS_nをする方法なんて考えつきません。

それは、先人が発見した、ちょっとしたテクニックです。