f(x)を整数係数のmonic polynomialとしたとき
任意の整数kに対して、f(m)がk個の異なる素因数をもつような整数mは存在するか
という問題なのですが、
素数を小さい順にp_1 ,p_2, p_3, ...とし、
f(m)の素因数がp_1, p_2, ... , p_kとなるようなmが存在することを示す。
f(x)は問題文の条件より
f(x)=(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_n)とおける (a_iは整数)
p_iは素数なので互いに素
中国の剰余定理より
y≡a_1 (mod p_1)
y≡a_2 (mod p_2)
y≡a_3 (mod p_3)
...
y≡a_k (mod p_k)
を満たすyが存在する。
y-a_1≡0 (mod p_1)
y-a_2≡0 (mod p_2)
y-a_3≡0(mod p_3)
...
y-a_k≡0(mod p_k)
となるためf(y)はp_1, p_2, ..., p_kのすべてで割り切れる。
間違いがあったら指摘ください。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
題意も証明方針も今一つピンとこないのだけれど、
任意の整係数モニック多項式が
整係数一次式の積に分解する…という主張は
明らかに間違い。よって、その証明は正しくない。
反例: x^2 + 2 とか。
No.1
- 回答日時:
「k個の異なる素因数をもつ」というのは「ちょうど k個」という意味でしょうか, それとも「少なくとも k個」という意味でしょうか?
「f(x)=(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_n)とおける (a_iは整数)」のところがわかりません.
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