共役複素数

a、b、c、dは実数の定数である
方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0は4つの虚数解を持つ
その解の内、ある2つの和は19+2iであり、他の2つの積は4+5iである
このときa、b、c、dの値を求めよ



2つの解α、βを、
α=p+qi、β=r+si
とおくと、その共役複素数
￢α=p-qi、￢β=r-si
も解で、
x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-￢α)(x-￢β)と表せられる
ここでα+β=19+2iとすると、
(x-α)(x-β)=x^2-(19-2i)x+(4+5i)
(x-￢α)(x-￢β)=x^2-(19+2i)x+(4-5i)
であり、x^4+ax^2+bx^2+cx+d=(x-α)(x-β)(x-￢α)(x-￢β)と表せることから、この右辺の積がx^4+ax^2+bx^2+cx+dと同じになる
というところまで様々な方のおかげでたどり着いたのですが、右辺をかけると、-38x^3が出たりx^2の係数に虚数があったりとx^4+ax^2+bx^2+cx+dに合わなくなってしまったんです
どうすればいいでしょうか？教えてください

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/06/26 17:46

みごとに引っかかりました。

>方程式x^4+ax^2+bx^2+cx+d=0

今ごろよく見ると、3 次係数が零！

>(x-α)(x-β)=x^2-(19-2i)x+(4+5i)
>(x-￢α)(x-￢β)=x^2-(19+2i)x+(4-5i)

では対応不能なのです。
(x^2 + r) の因数をもたせて再考、ですね。
　　　

この回答への補足

対応不能なのは何故ですか？
まだ5つ目の解があるってことですか？

補足日時：2012/06/26 18:17

この回答へのお礼

申し訳ありません
こちらが持ってる本の問題文の印刷ミスでax^3が^2となっていました
178-tallさんの答えは正しかったです
ありがとうございました

お礼日時：2012/06/26 18:40

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/06/26 17:47

4次方程式の　解と係数　を使えばよい。

x^4+p*x^3+q*x^2+r*x+s=0　の　4つの解を　a、b、c、dとすると
a+b+c+d=-p、ab+ac+ad+bc+bd+cd=q、abc+abd+acd+bcd=-r、abcd=s　となる。

証明は簡単。
x^4+p*x^3+q*x^2+r*x+s=(x-a)*(x-b)*(x-c)*(x-d)　として　右辺を展開し、左辺の係数と比較するだけ。
これは、特殊なことではないから　入試でも“証明なしで”使ってもかまわないだろう。

この回答へのお礼

確かに解けました
ありがとうございました

お礼日時：2012/06/26 18:38

No.3 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2012/06/26 18:25

これ、aはx^3の係数ですね。

3次の係数が"0"になることはあり得ません。
解と係数の関係からx^3の係数は-38になります。
x^2の項が二つあるところで問題を疑うべきです。
(もし、a,bが両方ともx^2の係数ならa,bを決定することはできません。a+bの値が決まりますが)

x^2の係数に虚数が出てくる、というのはたぶん計算間違いでしょう。
複素共役な数同士を足したりかけたりしたものは必ず実数になるためこの式を展開したもの係数は実数だけになるはずです。

この回答へのお礼

確かに問題文の印刷ミスでした
答えを確認したらx^3となっていました

計算ミスでしたか
ありがとうございました

お礼日時：2012/06/26 18:38