No.2ベストアンサー
- 回答日時:
2物体に働く力は、重力(保存力です)と、ロープからの張力です。
張力は保存力ではありませんが、ロープの両端では同じ大きさの力Tになっています。P,Qがhだけ移動したとして、P,Qに作用する張力がする仕事を求めると、P点での張力の仕事は T・(-h) Q点での張力の仕事は T・h となりますから、その合計は 0 つまり、本問では張力は仕事をしない力として処理して良いということになります(このような、系の内部だけに働く力は一般に"内力"と呼ばれ、その仕事は常に0です)。
滑車は摩擦が無く回転できて、質量も0と見なすのが一般的ですから、滑車は無視して良いでしょう。
こうして、系に働く"外力"は、保存力である重力だけだということになりますから、系の力学的エネルギーは保存されることが保証されます。
つまり、力学的エネルギー保存則が成り立つのです。
重力による位置エネルギーは、基準点の選び方で値が違ってくるので、その点で不安があるかも知れません。つまり、どこに基準点をとったら良いだろうか? と悩むかも知れません。でも、次のように考えれば、そんな不安は解消することでしょう。
力学的エネルギー保存則とは…
初めのPの運動エネルギーをKp,位置エネルギー(基準点は、Pに対して適当に選んだとします)をUp
Pが最下点に達したときの運動エネルギーをK'p,位置エネルギーをU'p
初めのQの運動エネルギーをKq,位置エネルギー(基準点は、Qに対して適当に選んだとします。この基準点はPの位置エネルギーを考えたときの基準点と異なっていても構いません)をUq
Qが最上点に達したときの運動エネルギーをK'q,位置エネルギーをU'q
とすると、力学的エネルギー保存則は、
Up+Kp+Uq+Kq=U'p+K'p+U'q+K'q
と書けることになります。これを変形すると
(U'p-Up)+(K'p-Kp)+(U'q-Uq)+(K'q-Kq)=0
この式から、P,Qそれぞれの、UやKの変化分の総和が0である、と解釈して良いということになります。
(U'p-Up)や(U'q-Uq)は基準点の取り方に無関係で、本問のように重力による位置エネルギーの変化では、それぞれの物体がどのくらい鉛直方向に移動したかという移動量を使って計算して良いことを意味しています。
本問では、基準点をどこに取るべきかと悩む必要は無いわけです。
ここから本題です。
P,Qがそれぞれ h[m]移動したとすると
U'p-Up=mg(-h)=-mgh
K'p-Kp=0-(1/2)m・v0^2
U'q-Uq=Mgh
K'q-Kq=0-(1/2)M・v0^2
力学的エネルギー保存則より
(U'p-Up)+(K'p-Kp)+(U'q-Uq)+(K'q-Kq)=0
なので
(M-m)・gh-(M+m)・(1/2)・v0^2=0
∴ h=…
別解)運動方程式を解く。
運動中、ロープに掛かる張力をTとすると
P:下向きを正として、加速度の大きさをαとして
mα=mg-T
Q:上向きを正として、加速度の大きさはPと同じですからα
Mα=T-Mg
∴α=(m-M)g/(M+m)
αは定数なのが明らかですから、運動は、等加速度直線運動になります。
初速度v0で、距離hだけ移動したとき静止したとすると
等速直線運動の公式から
0-(v0^2)=2h・(m-M)g/(M+m)
∴ h=…
No.1
- 回答日時:
PがV0の初速度を持つ時、QもV0の初速度を持つので、動き始めた時の運動エネルギーは
(M+m)v0^2/2
動き始めた時の状態を位置エネルギーの基準とすると、この時の位置エネルギーはゼロです。
両者が停止したとき、Pが初めの位置よりhだけ動いていたとすると、初期状態を基準とした位置エネルギーは
(M-m)gh
両者が静止しているので、この時の運動エネルギーはゼロです。
従ってエネルギー保存則より
(M+m)V0^2/2=(M-m)gh
これを解いて下さい。
この回答への補足
初期状態を基準とした位置エネルギーが(M-m)ghとなるのは何故ですか?
Mghだけ位置エネルギーが減ってmghだけ位置エネルギーが増えたから全体的に増えた位置エネルギーはmgh-Mgh(つまり(m-M)gh)じゃないんですか?
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