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No.1
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>空間に4点 A(-2, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 2), D(2, -1, 0)がある.
>3点A, B, Cを含む平面をTとする。
>(1) 点Dから平面Tに下ろした垂線の足Hの座標を求めよ.
平面Tをax+by+cz+d=0とおく。
Aを含むから、-2a+d=0より、a=(1/2)d
Bを含むから、2b+d=0より、b=(-1/2)d
Cを含むから、2c+d=0より、c=(-1/2)d
よって、a:b:c:d=1/2:-1/2:-1/2:1=1:-1:-1:2
よって、x-y-z+2=0 だから、法線ベクトルn=(1,-1,-1)
H(x0,y0,z0)とおくと、DH=(x0-2、y0+1、z0)
ベクトルDHとnが平行だから、DH=tnとおける。
x0-2=t,y0+1=-t,z0=-tより、
x0=t+2,y0=-t-1で、Hは平面上の点だから、
(t+2)-(-t-1)-(-t)+2=0より、t=-5/3
よって、H(1/3,2/3,5/3)
>(2) 平面Tにおいて, 3点A, B, Cを通る円Sの中心の座標と半径を求めよ.
円Sの中心をO(a,b,c)、半径rとすると、
(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2
Aを通るから、(-2-a)^2+b^2+c^2=r^2
Bを通るから、a^2+(2-b)^2+c^2=r^2
Cを通るから、a^2+b^2+(2-c)^2=r^2
3つの式から、
4+4a=4-4bより、b=-a
4+4a=4-4cより、c=-a
中心Oは、平面T上の点だから、a-(-a)-(-a)+2=0より、a=-2/3
よって、中心O(-2/3,2/3,2/3),
この座標を、上の3つの式のどれかに代入して、r^2=8/3より、
よって、半径r=2√6/3
>(3) 点Pが円Sの周上を動くとき, DPの長さが最少になるPの座標を求めよ.
(1)の垂線DHの長さは、Dから平面までの最小の長さなので、それを生かして
円周上のPとHを一直線上に持ってきて、直角三角形DHPを考えれば、
DPの長さが最小になる。
P(x1,y1,z1)とおく。
中心O、P、Hが一直線上にあれば良いから、OP=kOHとおける。
|OP|^2=k^2|OH|^2
|OP|^2=r^2=8/3
OH=(1/3+2/3,2/3-2/3,5/3-2/3)=(1,0,1)より、|OH|^2=2
だから、8/3=k^2×2より、k^2=4/3から、k=2√3/3
OP=(x1+2/3,y1-2/3,z1-2/3)=k(1,0,1)より、
x1+2/3=k=2√3/3,y1-2/3=0,z1-2/3=k=2√3/3
よって、
x1=(2/3)(√3-1),y1=2/3,z1=(2/3)(√3+1) ……Pの座標
でどうでしょうか?計算など確認してみて下さい。
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