有界領域について

Question

テキストに以下のような記述がありました。

「領域Ω＝{(x1,x2)∈R^2}が有界領域ならば
直交座標を適当に平行移動してx1>0の範囲に入るようにできる」

これはいったいどういうことなのでしょうか？
論理的な意味とイメージがつきません。。。

どなたか解説をよろしくお願い致します。

178-tall · Accepted Answer

「イメージ」にとどめておけばよいところ、余計な式表示にて錯誤。
最少現の補修でも。

Ωの下界を (xL, yL) として、xs > |xL| を満たす xs だけ y 軸を負方向へ平行移動すれば、
　Ωを x-y 座標の「右半平面」内 (x > 0の範囲) に入れることができる

これで題意に違反はしてませんが、要らざる「平行移動」を許容している、という欠点は残ってます。
くれぐれも、ご注意を。

noname#161402 · Answer

＞８

まあ、そうなんですけどね。
質問者さんが１でピンとこないようだったので。

178-tall · Answer

もとの問題を知るすべは無いけれど、
>領域Ω＝{(x,y)∈R^2} が有界領域ならば 座標の平行移動により x > 0の範囲に入るようにできる
に限れば、

Ωの下界を (xL, yL) として、xs > xL を満たす xs だけ y 軸を負方向へ平行移動すれば、
　Ωを x-y 座標の「右半平面」内 (x > 0の範囲) に入れることができる
 　(xs は一意的じゃないけど)

という話なんじゃありませんか？

noname#161402 · Answer

＞Ａ＝｛ｎ∈｛整数全体｝；ｎ≦５｝
＞B＝｛（ｘ、ｙ）；ｘ、ｙは実数、｜ｙ｜＜１｝
＞
＞Aは有界
＞Bは非有界だと思います

Ａは非有界です。
∵）任意のε＞０に対して、εよりも大きい自然数ｍをひとつとります。
ｎ＝－ｍとおくと、ｎ≦５なのでｎ∈Aになります。
ところが、｛ｎと原点０との距離｝＝｜ｎ｜＝ｍ＞ε

Ｂの非有界性をどう判断しましたか？幾何学的な形からなんとなく、ではないですか？

なぜこんなことを聞いたかというと、
＞ユークリッド空間などの距離空間の点集合が有界である
＞⇔点集合の各点が、原点からの距離ε（適当に決めた正数）よりも小さい
にて、

（ａ）その点の座標とεを比較しているのか、「その点と原点との距離」とεを比較しているのかはっきりしなかった

（ｂ）その点に応じてεを決めるのか、εを先に決めてその後任意の点について調べるのかを区別できているのかはっきりしなかった

という理由からです。

A.No.1に戻って、右辺は（ｘ、ｙ）と原点との距離の符号を逆にしたものです。
もう一度考えてみてください。

178-tall · Answer

>「領域Ω＝{(x1,x2)∈R^2}が有界領域ならば 直交座標を適当に平行移動してx1>0の範囲に入るようにできる」

この問い、x1, x2 の紛らわしさが「迷惑」の原因じゃありませんか。

頭を冷やし、
　領域Ω＝{(x,y)∈R^2} が有界領域ならば 座標の平行移動により x > 0の範囲に入るようにできる
と再読してみると、
　有界領域は、y 軸を適当に平行移動して x-y 座標の「右半平面」内に入れることができる
といっているに過ぎません。

itukadarekato · Answer

逆に
論理的な部分の説明は他の回答者に任せて
イメージだけを

R^2の有界な集合Ωのイメージは
原点を中心として大きな正方形（円でもよい）を作ると
この中にΩがすっぽり含まれてしまうことです
正方形の境界はあってもなくても構いません

この正方形をΩも一緒に
y=xに沿って対角線の長さの半分以上
右上にずらせば
正方形もΩも第1象限に含まれてしまいます

noname#161402 · Answer

補足みましたが、危なっかしいですね。

次の集合A、Bはそれぞれ有界ですか？

Ａ＝｛ｎ∈｛整数全体｝；ｎ≦５｝
※ たとえば、５、０、－２、－１０などはAの要素です。ε＝６とおくと、任意のｎ∈Aに対してｎ＜εです。

B＝｛（ｘ、ｙ）；ｘ、ｙは実数、｜ｙ｜＜１｝
※ （ｘ、ｙ）∈Bに対して、ε＝√｛（ｘ＾２）＋１｝とおくと、｛原点（０，０）と（ｘ、ｙ）との距離｝＜εです。

こういうのはイメージに頼るとわからなくなるので、形式的に考えましょう。イメージはあとからついてきます。

178-tall · Answer

> ..... 論理的な意味とイメージがつきません。。。

有界領域の定義を眺めながら「イメージ」すること。

有界領域には「下界」ってものがあるらしい。
　「下界」というからには、その下方にΩの要素は無いはず。

…といった調子です。

noname#161402 · Answer

有界の定義を書いてみてください。
それをご存知でないと思われます。

noname#161402 · Answer

任意のｘとｙに対して
ｘ≧－√（ｘ＾２＋ｙ＾２）
ですから。

有界領域について

「イメージ」にとどめておけばよいところ、余計な式表示にて錯誤。

＞８

もとの問題を知るすべは無いけれど、

＞Ａ＝｛ｎ∈｛整数全体｝；ｎ≦５｝

>「領域Ω＝{(x1,x2)∈R^2}が有界領域ならば 直交座標を適当に平行移動してx1>0の範囲に入るようにできる」

この回答への補足

逆に

補足みましたが、危なっかしいですね。

この回答への補足

> ..... 論理的な意味とイメージがつきません。

有界の定義を書いてみてください。

この回答への補足

任意のｘとｙに対して

この回答への補足

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