Erdosが問題とした、収束が不明な級数

Erdosによると、
http://mathworld.wolfram.com/PrimeSums.html
の（8）式は、収束するかどうか不明らしいですが、
n番目の素数の下限はn ln(n)より大きいはずなので、
http://math.stackexchange.com/questions/1257/is- …
「単調減少な交代級数は収束」という定理から、
（8）式は収束するはずです。

この推論はなぜ間違っているのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#164086 回答日時： 2012/10/31 18:42

交代級数の各項の絶対値anが

単調に0に収束する数列で抑えられたからといって
anが単調に0に収束するとは必ずしも言えないと思います。
その辺はどう考えていますか?

この回答への補足

思いつきました。
an=1/n(n is even)
=1/n^2(n is odd)
のようにすれば、条件を満たすと思います。

補足日時：2012/11/01 22:05

この回答へのお礼

ありがとうございます。
確かにそうですね。
どのような例があるでしょうか？
自分でも考えてみますが、思いついたら教えてください。

お礼日時：2012/10/31 21:32

No.2 回答者： muturajcp 回答日時： 2012/11/01 05:40

「n番目の素数の下限はn ln(n)より大きい(p_n>n ln(n))」からといって

「(n/p_n)は単調減少(n/p_n>(n+1)/p_{n+1})」とはいえません

n番目の素数をp_n
a_n=n/p_n
(8)Σ_{n=1～∞}{(-1)^n}a_n
とすると
(a_n)_{n≦145}は単調減少ではありません。
(a_n)_{n≧k}が単調減少となるようなkが存在するかは不明。
n≧5のときp_n>2nが成り立つ。
p_{n+1}=(p_n)+2
となるn≧5が存在すれば
(n+1)p_n-np_{n+1}=(n+1)p_n-n(p_n)-2n=(p_n)-2n>0
np_{n+1}<(n+1)p_n
a_n=n/p_n<(n+1)/p_{n+1}=a_{n+1}
(a_k)_{k≦n+1}は単調減少でない

以下は
n/p_n<(n+1)/p_{n+1}と増加する項です

5/11<6/13
7/17<8/19
10/29<11/31
13/41<14/43
13/59<14/61
20/71<21/73
26/101<27/103
28/107<29/109
31/127<32/131
33/137<34/139
35/149<36/151
38/163<39/167
41/179<42/181
43/191<44/193<45/197<46/199
48/223<49/227<50/229<51/233
52/239<53/241
57/269<58/271
59/277<60/281<61/283
63/307<64/311<65/313<66/317
69/347<70/349<71/353
75/379<76/383
78/397<79/401
81/419<82/421
83/431<84/433
85/439<86/443
88/457<89/461<90/463<91/467
93/487<94/491
95/499<96/503
98/521<99/523
104/569<105/571
109/599<110/601
112/613<113/617
116/641<117/643<118/647
120/659<121/661
122/673<123/677
131/739<132/743
134/757<135/761
136/769<137/773
140/809<141/811
142/821<143/823<144/827<145/829

この回答へのお礼

調べていただきありがとうございます。
ご指摘のとおりです。
今回はNo.1さんの回答が参考になったので、
ベストアンサーはNo.1さんにします
（残念ながら退会されてしまったようですけれど）。

お礼日時：2012/11/01 22:08