微分方程式 (d^2 y)/(dx^2) - y = 0 の級数解について次の問に答えなさい。
(1) 級数解を y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i とおいたとき、係数 a[i] について漸化式を求めよ。ただし、a[0] ≠ 0 であるとする。
解答
y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
(d^2 y)/(dx^2) = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
・・・とまだまだ続くのですが、この
(d^2 y)/(dx^2) = x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1)a[i] * x^(i-2)
の
Σ[i=0,∞]
は
Σ[i=2,∞]
の間違いじゃないんですか?
ただそうなると、これを基にこの後の計算も書かれているので、辻褄が合わなくなりますけど…。
この章の最初にこういう記述があります:
y(x) = Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
を項別に微分すると、1次および2次の導関数は次のようになる。
dy/dx = Σ[i=1,∞] i * a[i] * x^(i-1) ←このi=1になる理由を明確にしたい
= Σ[i=0,∞] (i+1) * a[i+1] * x^i
(d^2 y)/(dx^2) = Σ[i=2,∞] i(i-1) * a[i] * x^(i-2)
= Σ[i=0,∞] (i+2)(i+1) * a[i+2] * x^i
この
dy/dx = Σ[i=1,∞] i * a[i] * x^(i-1)
で
Σ[i=1,∞]
になるのは、0次(定数)の部分がどんな数字だろうが微分すると0になって消えて無くなってしまうからですよね?そして今まで1次だった係数が0次の係数に成り下がる・・・こんなイメージで良いでしょうか?そういう理解の下、これに沿って、今回の質問の計算をしてみますと、
y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
dy/dx = { x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i }'
= { Σ[i=0,∞] a[i] * x^(c+i) }'
= Σ[i=1,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1)
(d^2 y)/(dx^2) = { Σ[i=1,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1) }'
= Σ[i=2,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(c+i-2)
= x^c * Σ[i=2,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(i-2)
・・・というように Σ[i=2,∞] になりませんか?
それとも私の計算が間違っていますか?そうだとしたら正しい説明を教えてください。お願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i=Σ[i=0,∞] a[i] * x^(c+i)
>dy/dx={Σ[i=0,∞] a[i] * x^(c+i) }'=Σ[i=0,∞] a[i] * {x^(c+i)}'
>=Σ[i=1,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1)←ここがちがいます
=Σ[i=0,∞] (c+i) * a[i] * x^(c+i-1)←正しくは
なぜi=1としてはいけないかと言うとi=0のときc+i=cでこれ0とは限らず,残ります.c=0ならc+i=i=0となり残らないのでi=1としてよいのですが,cがあるため勝手にi=1にしてはいけません.
したがって,
>(d^2 y)/(dx^2)= x^c * Σ[i=2,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(i-2)
とはならず,
d^2y/dx^2=Σ[i=0,∞] (c+i) * a[i] * {x^(c+i-1)}'
=Σ[i=0,∞] (c+i) (c+i-1)* a[i] * x^(c+i-2)
となります.
このような間違いはΣをはずすとよくわかります.
f(x)=Σ[i=0,∞]x^i
を項別微分すると
f'(x)=Σ[i=1,∞]ix^(i-1)
となります.これをΣをはずしてみると
f(x)=1+x+x^2+x^3+・・・
を項別微分すると,i=0の項x^0=1が消え,
f'(x)=1+2x+3x^2+・・・
となります.次に
f(x)=x^cΣ[i=0,∞]x^i=Σ[i=0,∞]x^(c+i)
=x^c+x^(c+1)+x^(c+2)+・・・
を項別微分すると
f'(x)=cx^(c-1)+(c+1)x^c+(c+2)x^(c+1)+・・・
=Σ[i=0,∞](c+i)x^(c+i-1)
となって消える項はありません.
ありがとうございます。
>なぜi=1としてはいけないかと言うとi=0のときc+i=cでこれ0とは限らず,残ります.c=0ならc+i=i=0となり残らないのでi=1としてよいのですが,cがあるため勝手にi=1にしてはいけません.
> f(x)=x^cΣ[i=0,∞]x^i=Σ[i=0,∞]x^(c+i)
> =x^c+x^(c+1)+x^(c+2)+・・・
> を項別微分すると
> f'(x)=cx^(c-1)+(c+1)x^c+(c+2)x^(c+1)+・・・
> =Σ[i=0,∞](c+i)x^(c+i-1)
> となって消える項はありません.
…これでやっと理解できました。
つまり、本の最初の記述は「たまたま」0次の項が0になるのでi=1にしても差し支えない、という理由でi=1にしていたわけですね。別に0の部分を気にしなければ、i=0のままでもよかったんですね(この部分はNo.3さんの回答を読み返して分かりました)。
しかし今回は、仰る通り、c=0という特別な場合でもない限り、0次の項にcが残るのでi=1には出来ないということですね。スッキリしました。
ありがとうございました。
No.3
- 回答日時:
>Σ[i=1,∞]
になるのは、0次(定数)の部分がどんな数字だろうが微分すると0になって
消えて無くなってしまうからですよね?そして今まで1次だった係数が0次の
係数に成り下がる・・・こんなイメージで良いでしょうか?
はい、そうですね。良いと思います。微分するごとに項数が減っていくわけですね。
ただ、Σ[i=0,∞] のままにしておいても別に問題ありません。理由は、次のとおり。
dy/dx = Σ[i=1,∞]i・a[i]・x^(i-1) = 0・a0・x^(0-1) + Σ[i=1,∞]i・a[i]・x^(i-1) = Σ[i=0,∞]i・a[i]・x^(i-1)
もっと言えば、その計算の次の行で「Σ[i=0,∞] (i+1) * a[i+1] * x^i」と書かれていますが、i = -1 と書いてあったって間違いではありません。
>・・・というように Σ[i=2,∞] になりませんか?
それとも私の計算が間違っていますか?
この場合は、残念ながら、質問者さんの間違いのようです。
Σ の前に x^c が掛けてあるので、最低次数が何乗なのかは、変数としてしか分かりません。y(x) の 最低次数の項とは、x^c × a0 × x^0 = a0・x^c だから、最低次数は c です。つまり 2 回の微分をするごとに項数が減っているのかどうかは、c に具体的な値を与えない限り、不明と言うことです。したがって勝手に i の値を増やす(項数を減らす)わけにはいきません。
上の計算で説明したとおり、微分するごとに項数が減るような c であったとしても、i の数は増やさないで(項数を減らさないままの形で)式を書くこともできます。ゼロをかけてしまえば、x^(-2) でも x^(-1000) でもゼロになってしまうわけで、項数は何個でも増やすことができるからです。
ありがとうございます。
そうですね、
dy/dx = Σ[i=1,∞]i・a[i]・x^(i-1) = 0・a0・x^(0-1) + Σ[i=1,∞]i・a[i]・x^(i-1) = Σ[i=0,∞]i・a[i]・x^(i-1)
の部分が重要だと思います。x^cが前に付いた場合だと、この 0・a0・x^(0-1) の部分がどうなるのか想像できませんでした。
>もっと言えば、その計算の次の行で「Σ[i=0,∞] (i+1) * a[i+1] * x^i」と書かれていますが、i = -1 と書いてあったって間違いではありません。
なるほど、a[i+1]なのでi=-1だとa[0]ですね。
>つまり 2 回の微分をするごとに項数が減っているのかどうかは、c に具体的な値を与えない限り、不明と言うことです。したがって勝手に i の値を増やす(項数を減らす)わけにはいきません。
ここの部分の説明は、正直、ある程度まで理解できたんですけど、cが幾つならどうなるのか想像できませんでした。ただ、No.4さんの回答を読んでからやっと理解できました。回答を支持しておきます。
ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
y(x)=x^c*Σ[i=0,∞]a[i]*x^i
y'(x)={cx^(c-1)}*Σ[i=0,∞]a[i]*x^i
+x^c*{Σ[i=1,∞]ia[i]*x^(i-1)}
={cx^(c-1)}*Σ[i=0,∞]a[i]*x^i+x^(c-1)*Σ[i=1,∞]ia[i]*x^i
=x^(c-1)*{Σ[i=0,∞]c*a[i]*x^i+Σ[i=0,∞]ia[i]*x^i}
=x^(c-1)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
y''=(c-1)x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
+x^(c-1)*Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^(i-1)
=(c-1)x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
+x^(c-2)*Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^i
=x^(c-2)*{(c-1)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
+Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^i}
=x^(c-2)*{Σ[i=0,∞](c-1)*(c+i)*a[i]*x^i
+Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^i}
=x^(c-2)*Σ[i=0,∞]{(c-1)*(c+i)+i*(c+i)}*a[i]*x^i
=x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*{(c-1)+i}*a[i]*x^i
=x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*(c+i-1)*a[i]*x^i
=x^c*Σ[i=0,∞](c+i)*(c+i-1)*a[i]*x^(i-2)
で間違い無し。
Σ[i=1,∞]ia[i]*x^i=Σ[i=0,∞]ia[i]*x^i
に注意されたい。展開すれば歴然でしょう。
ありがとうございます。
私も最初はその方法で解こうと思ったんですけど、途中で複雑になって辞めてしまいました。
それと、皆様の回答を読むまでは、二回目の微分の
y''=(c-1)x^(c-2)*Σ[i=0,∞](c+i)*a[i]*x^i
+x^(c-1)*Σ[i=0,∞]i*(c+i)*a[i]*x^(i-1)
…の部分でΣ[i=0,∞]でいいのか判断がつきませんでした。
でも今は分かるようになりました。
ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
>・・・というように Σ[i=2,∞] になりませんか?
なりません。
>それとも私の計算が間違っていますか?そうだとしたら正しい説明を教えてください。
間違っています。
以下のようにx^cをΣの中に入れてから、単純に2回微分すれば、簡単に結果の式が導けるかと思います。
y(x) = x^c * Σ[i=0,∞] a[i] * x^i
=Σ[i=0,∞] a[i] * x^(c+i)
dy/dx = Σ[i=0,∞] a[i] * {x^(c+i) }'
= Σ[i=0,∞] (c+i)a[i] * x^(c+i-1)
(d^2 y)/(dx^2) = Σ[i=0,∞] (c+i) * a[i] * {x^(c+i-1) }'
= Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(c+i-2)
= x^c * Σ[i=0,∞] (c+i)(c+i-1) * a[i] * x^(i-2)
但し、c≧2とします。
ありがとうございます。
実はその「単純に2回微分すれば」の部分が疑問だったんですよね。皆様の回答を読むまでは(何故かよく分からないけどとりあえず)i=0 → i=1 → i=2にしないといけないと思っていました。
ありがとうございました。
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