微分方程式

ｄ＾２ｘ／ｄｔ＾２＋２ｄｘ／ｄｔ＋５ｘ＝ｃｏｓωｔ
の解で、初期条件ｔ＝０において
ｘ＝１，ｄｘ／ｄｔ＝０を満たすものを求めよ

解き方が分かりません。
教えてください。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/17 10:18

反省と修正:

A No.2 の手順で、
まず、z の特殊解を見つけるために
z = g exp(ωt) と置換してみる。
何故こうするとよいのかは、
経験と女神さまだけが教えてくれる。

すると、それだけで、問題の方程式は
g についての斉次線形微分方程式になる。
y を考える必要は、無いのだった。
後は、定係数斉次線形微分方程式の一般論。

g の微分方程式の特性方程式は、
係数に ω を含む二次方程式となって
一見複雑だが、判別式の値が定数 -4 なので
見かけほど面倒ではない。

No.3 回答者： kiyos06 回答日時： 2013/01/17 08:03

1)YahooやGoogleで2階、微分方程式、非同次を検索する。

2)一例
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/16 16:03

まず、特殊解を一個見つけて、

x=(特殊解)+y で置換すると、
y についての、斉次方程式になる。
定係数斉次線型微分方程式の解は、
特性方程式を解いて、
指数関数の線型結合を作れば得られる。
初期条件に従って、
線型結合の係数を決める。

x'' + 2x' + 5x = cos(ωt) の
特殊解を見つけるには、
z'' + 2z' + 5z = e^(iωt), x = Re z
とするのが、おそらく簡単。

y'' + 2y' +5y = 0 の
特性方程式は、
λ^2 + 2λ + 5 = 0.
これが、重根を持たない二次方程式
であることに感謝しよう。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/15 23:52

まず一般解を求めて初期条件から定数を決める.