∂f/∂x=∂f/∂y ・・・・・・・(1) の解について
(1)を満たす解f(x,y)はz=x+yとしてf(x,y)=C(z) (C(z)はzについて微分可能な任意関数)である。
しかしこの解がそれ以外で表されるか否かというのを考えてみました。
(考察)
f(x,y)が(1)の解であるならば、zを任意の定数として固定してy=-x+zのとき
合成関数の微分法を用いて
df(x,-x+z)/dx=0 である。
これをf(x,-x+z)について解くと、f(x,-x+z)=C(z) (C(z)はzのみに依存する任意関数)
すなわち df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,-x+z)=C(z)
⇔ f(x,y)=C(x+y) ・・・・・・・・・・・(2)
しかし(1)に代入するとC(x+y)はx+yについて微分可能でないといけないことが分かるので
結局(2)は
df(x,-x+z)/dx=0 ⇔ f(x,y)=C(x+y) (C(x+y)はx+yについて微分可能な任意関数) ・・・・・・(2)'
となる。
逆に(1)を満たす解の中でf(x,y)=C(x+y)の形以外の適当なx,yに依存する関数F(x,y)を考える。
y=-x+z(zは任意定数)と制限されれば x+yのみに依存する任意関数C(x+y)をとっても
F(x,y)≠C(x+y)であるから (2)'からdF(x,-x+z)/dx≠0
つまりy=-x+zのとき
dF(x,-x+z)/dx=∂F/∂x+dy/dx・∂F/∂y=∂F/∂x -∂F/∂y≠0 で
このときF(x,y)は(1)を満たさない。
したがって(1)を満たす解はz=x+yとして
f(x,y)=C(z) (C(z)はzについて任意の微分可能な関数)でしか表せない事が分かった。
この説明方法に誤り、アドバイスあれば指摘してください。
問題は(1)の解でy=-x+zと制限すれば必ずdf(x,-x+z)/dx=0なるという情報が分かっている。
F(x,y)をy=-x+zで制限されたときF(x,-x+z)/dx ≠0だから(1)はこのとき満たされないため
f(x,y)=C(x+y)のみしか表せないと考えたのであるが、それでよいかどうか。
fが(1)の解 ⇒ y=-x+zのとき df(x,-x+z)/dx=0
これより y=-x+zのときdF(x,-x+z)/dx≠0 ⇒ Fは(1)の解でない
だから
(1)の解はf(x,y)=C(x+y)のみというのが自分の考え。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 【全微分について】 z=f(x,y) の全微分は df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy と表 1 2023/02/25 05:49
- 数学 全微分について質問です。 z=f(x,y)のとき df=(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy ∂f 5 2023/02/24 05:46
- 数学 多変数関数の微分とテイラー展開について 5 2022/04/24 16:55
- 数学 df(x)/dx=f(x)の解はf(x)=Ae^xのみ。どうやって証明される? 3 2023/02/08 17:42
- 数学 (1+x^2)y'=1 の微分で教えて下さい 2 2022/08/30 10:23
- 数学 『Cの微分.2』 3 2023/02/15 19:47
- 数学 微分(全微分)についての質問です。 2 2022/04/07 17:08
- 数学 数学積分の問題です x=a(t+sint) y=a(1-cost) tは0〜π グラフの形は「ハ」を 3 2022/08/27 12:26
- 数学 積分と不等式 2 2023/01/26 21:52
- 数学 f(x,y)=-2y/(x^2+y^2) という関数を不定積分すると、 ∫ -(2y)/(x^2 + 2 2023/06/12 20:25
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
解なし≠解はない
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は...
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
微分方程式で、分母=0の場合は...
-
微分方程式 y'=(x-y)/x はどう...
-
2次方程式X^2-3X-1=0の2つの...
-
tanX=Xの解
-
2次方程式 2x^2 - 3x - 4 = 0...
-
aの値に関係なくとよく問題で見...
-
微分の重解条件は公式として使...
-
今年最後の質問です(積分定数の...
-
2次方程式の問題なんですが
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
微分方程式の解を、微分方程式...
-
微分方程式の定義域
-
振動
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
虚数解
-
f(x)=x^3+ax^2+12x+3が、す...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
Excelで合計値を基にデータを均...
-
tanX=Xの解
-
16の4乗根は±2ではない!?
-
数学についてです 「 aを定数と...
-
答えを教えて
-
一枚の板から何枚取れるか?
-
微分方程式の解を、微分方程式...
-
解なし≠解はない
-
解に3つ以上±や∓がある時複号...
-
微分の重解条件は公式として使...
-
数学I 二次方程式について次の...
-
微分方程式 定常解について・・・
-
x^y=y^x (x>y)を満たす整数解は...
-
3次関数と直線が接する場合、...
-
3次方程式の解の範囲について
-
3次関数と1次関数が接するとき
-
複数の品目での単価と全体の合...
-
次の関数が,与えられた微分方...
-
定数係数以外の2階常微分方程...
-
3次方程式
おすすめ情報