長さ2の線分NSを直径とする球面Kがある

点Sに於いて球面Kに接する平面の上でSを中心とする半径2の4分円弧ABと線分ABを合わせて得られる曲線上を点Pが一周する
このとき線分NPと球面Kとの交点Qの描く曲線の長さを求めよ

解き方を教えてください

No.4 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2013/02/08 23:10

点Pが弧AB上にあるときは、交点Qが通るのは球面の大円の1/4円弧、

点Pが線分AB上にあるときは、交点Qが通るのは半径√6/3の円の1/3円弧。

No3さんはたぶん線分NSを球の半径と勘違いしているのでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございました
混乱しそうなのでこの回答を参考にします

お礼日時：2013/02/09 17:12

No.7 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/02/09 10:36

No4さんのご指摘通りです。

Nを球の中心と勘違いしてました。失礼しました。

No.6 回答者： nag0720 回答日時： 2013/02/09 03:53

No.5さんも勘違いしてますね。

球の半径は１、Sを中心とする円の半径は２ですから、No.5の図は正しくありません。

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2013/02/09 03:10

Qの軌跡の曲線は、２つの円の円周の一部の弧になりますが、２つの円は共に球面の大円にはなりません（円の中心は球Kの中心と一致しません）。

また弦ABに対応するQの軌跡の曲線は円の一部の弧となりますが、その弧の中心角はπ/2[ラジアン]より小さな角になります。
この点でA#2,A#3,A#4の回答はそれぞれ部分的に正しくないようです。
添付図で確認下さい。

Pが弧AB上を移動する時のQの軌跡（曲線）は
添付図のように中心F(0,0,-6/5),半径FM=r1=8/5の
中心角∠MFN=π/2[ラジアン]の円弧
になるので、この部分の弧の長さL1は
　L1=r1*∠MFN=(8/5)*(π/2)=4π/5
となります。

またPが弦AB上を移動する時のQの軌跡（曲線）は
添付図のように中心H(4/9,4/9,2/9),半径HM=r2=(4/3)√2の
中心角∠MHN=arccos(7/25)[ラジアン]の円弧
になるので、この部分の弧の長さL2は
　L2=r2*∠MHN=(4/3)(√2)arccos(7/25)
となります。

Qの軌跡はL1とL2をあわせた２つの弧からなる閉じた曲線となるので、Qの軌跡の曲線の長さLは
　L=L1+L2=(4π/5)+(4/3)(√2)arccos(7/25)
と求まります。

[確認]添付図をよくみて、Qの軌跡の曲線が２つの円（中心はFとH）の弧となっていることを確認下さい。
図を正しく掛ければ、各線分の長さや中心角を正しく求められますから、自分で計算してみて下さい。
もし、分からない所があれば、途中計算を補足に書いて、訊いて下さい。

No.3 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/02/08 20:27

点Pが弧AB上にあるときは、交点Qは球面を円錐が着る形のなるので、円には違いありませんが大円ではありません。

半径√２の円周の1/4を通るでしょう。
一方、点Pが直線AB上にあるときには、No2さんの説明とおり、大円上の一部分を通るでしょう。なので、直線NAと直線NBのなす角を求めれば良い。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2013/02/08 15:50

絵を描けば分かるはずなんだけど。

P=A、P=Bのときの交点Qの位置はすぐ分かるでしょう。


Sを中心とする半径2の円と、球の赤道（直線SNと直交する大円）との関係を見れば、
点Pが弧AB上にあるときは、交点Qは赤道を通ることが分かる。

点Pが線分AB上にあるときは、交点Qは３点A,B,Nを通る平面で球面を切断したときの切断曲線を通ることが分かる。
切断曲線は円だから、その円の半径を求めれば長さが分かる。

No.1 回答者： LHS07 回答日時： 2013/02/08 08:09

絵を描きます。

この回答への補足

書きましたがわかりません

補足日時：2013/02/08 14:39