中学数学の確率の問題です！

中学数学の確率の問題です！
お願いします。。。

コインを投げて、ある決まりの沿って階段を昇ります。
表なら1段、裏なら2段という決まりです。
ただし、初めは床からスタートするとします。

たとえば、1段の場合
表　しか可能性がないので1通り。

2段目の場合
表　表　
裏　　　　　
　　　　　　の2通り。

3段目なら
表　表　表
裏　表
表　裏
　　　　　　の3通りです。


このように、書き出すことでしか答えを導くことしかできず、
困っています。
問題は、8段目に上がるには何通りかということを
式を使って導きたいです。

どなたかお力を貸して下さい。
お願いします。

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/15 19:22

高校で「漸化式」を習っていると、この漸化式は解くことができて、

n 段目に上がるには何通りかを n の式で書くことができるけど…
中学の数学では、そこまでは無理でしょう。

でも、「 n 段目に上がるには f(n) 通り」の f(n) を
k≦n の範囲の f(k) を使って表せることに気づいて、
A No.1 のように、結果的には漸化式であるような式を立て、
n = 2,3,4,…,8 と実際に漸化して f(8) を求めることは、
自力でできてもバチは当らない程度の内容だと思います。

No.6 回答者： noname#182106 回答日時： 2013/02/15 08:21

中学数学ならば「数える」でいいんですよ。

出題者も「数えられる力」をチェックしてるんです。
一般的な解法はNo.1さんの方法ですけど、‘漸化式‘を知っているか、中学受験経験者でこの手の問題に慣れているかでなければ「そんな巧妙な方法は思いつかないよ」で当たり前です。
興味があるなら‘漸化式‘や‘フィボナッチ数列‘で検索してみてください。

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/15 01:14

いろいろな考え方があるんだが, 「最後 (または最初) の 1回を特別扱いする」といいときもあったりする....

何回かコインを投げて, その結果として最終的に 8段目に上ったんだよね.

じゃあ, その直前はどこにいたの?

No.4 回答者： asuncion 回答日時： 2013/02/15 00:06

2段目の場合

表1　表2
表1、表2を裏に変換
2とおり

3段目の場合
表1　表2　表3
表1、表2を裏に変換
表2、表3を裏に変換
3とおり

4段目の場合
表1　表2　表3　表4
表1、表2を裏に変換→裏　表3　表4
表3、表4を裏に変換→裏　裏
表2、表3を裏に変換→表1　裏　表4
表3、表4を裏に変換→表1　表2　裏
表1、表2を裏に変換→裏　裏

という風に、ベースはすべて表の状態で、
隣り合う表を裏に変換できるケースがいくつあるかを数えてみると
何かいいことがあるような気がします。

No.3 回答者： B-juggler 回答日時： 2013/02/14 23:51

もしかすると、蛇足かもしれないけれど。

基本線、Ｎｏ．１さんの回答が、もっとも忠実で役に立ちそう。

これから書くのは、かなり応用の要素が多いから、気をつけてください。

パターン化して考える！　（という類の問題だと思う）

１：全部２段ずつ　登ることが出来る場合（この場合　２×４だから、４回）
２：３回の２段　＋　２回の１段　（２回表が出るケース）
３：２回の２段　＋　４回の１段　（４回表が出るケース）
４：１回の２段　＋　６回の１段　（６回表が出るケース）
５：全部表が出るケース　（８回ね）

この５つしかないことに気がつけば・・・！

と、いう問題にもなっていることを付け足しましょうね。

組み合わせの（場合の）数は　全く同じになるはずですから。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.2 回答者： Kirby64 回答日時： 2013/02/14 23:44

　猫山中学では確率なんか習わなかったんで、間違ってるかも知れないが…ニャ。

２段目までは２通りだったんだろがニャ。
仮に４段のを考えると、２段目まで２通りがあって、残り２段ニャ。
ツーことは途中の２段目まで２通り、残り２段も２通りあるから、２×２＝４通りニャ。
８段の場合途中の４段目まで４通りで、残り４段も４通りあるから、４×４＝１６通り…、これではダメかニャ?

No.1 回答者： f272 回答日時： 2013/02/14 23:33

3段目まではわかったんだよね。

4段目までは
2段目まで昇ったの後に裏がでて2段昇る
3段目まで昇ったの後に表がでて１段昇る
のどちらかです。だから4段目までの場合の数は、(2段目までの場合の数)+(3段目までの場合の数)になっているはずです。

以下同様に
5段目までの場合の数
6段目までの場合の数
7段目までの場合の数
8段目までの場合の数
を順々に求めればよい。