y=xを回転軸とする回転体の体積 （再）

添付の画像の定積分Ｖを上手に計算できる方法はないでしょうか？
被積分関数を展開して、項ごとに部分積分などを考えて計算すれば答えに辿りつけますが、計算量が多くてまいっています。（これぐらい計算しろってこと？）

本質的には、Ｖは、関数 y=x と曲線 y=(e^x - 1)/2 によって囲まれる部分を y=x を軸として回転して得られる回転体の体積を表しています。


ちなみに、問題文は、

Ｖは次の式で与えられる。ア、イ、ウにはいる数適切な式を答えよ。
Ｖ　＝　（アα^3　＋　イα＾２　＋　ウα）π　

として与えられています。Ｖがαの３次式の形で表されることがわかっていますが、このことは、
Ｖの計算に役立つでしょうか？

αは２つのグラフの交点のうち原点でない方のｘ座標（ｙ座標）で、
e^α=2α+1 を満たします。

No.3 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/03/19 12:42

‎#2です。

＞参考先と同様に、x= (X- Y)/√2, y= (X+ Y)/√2　という変換を考えてみましたが、
＞y=(e^x -1)/2 にこの変換を代入したとき、代入後の式をＹ＝・・・の形に表す方法がわかりません。
＞参考先のy=x^2では容易ですが、今回の曲線ではどうですか？

点P( t, (e^t-1)/2 )を -45度の回転変換で移動することを考えます。
回転変換を表す行列は、
　R(-45°)＝ 1/√2 (1 1; -1 1)

となり、点Pの像を P 'として
P '( { t+(e^t-1)/2 }/√2, { -t+(e^t-1)/2 }/√2 )となります。

-45度の回転変換により、回転軸は直線：y＝ xから x軸に移されています。
また、積分区間は 0≦ x≦ √2αとなります。
点P 'の y座標にだけ注目して、体積：Vは以下のように表されます。
V
＝ ∫[0→√2α] π[{ -t+(e^t-1)/2 }/√2]^2 dt
＝ π/8* ∫[0→√2α] [ -2t+(e^t-1) ]^2 dt


＞そこで、変数uを回転軸OHに沿って動かしています。
＞tは、回転軸上の変数ではありませんが、置換積分により、積分の変数をuからtに変えています。
変数：uを軸に沿って動かすのであれば、半径も uで表す必要があります。
あくまでも「厚み：du」は軸に沿ったものだからです。
積分変数を変換するのではなく、半径の方を変換しなければなりません。
そして、そのアプローチでは計算ができないかと思います。

この回答への補足

すこし早とちりしました。

>点P 'の y座標にだけ注目して、

積分を∫[0→√2α] y^2 dx とせず
積分を∫[0→√2α] y^2 dt としているところ
（そうしてよいところ）がポイントなのですね。

補足日時：2013/03/19 13:44

この回答へのお礼

ありがとうございます。

-45°の回転により、積分計算が、
π/8* ∫[0→√2α] [ -2t+(e^t-1) ]^2 dt
で表されることに合点がいきました。
Ｙ＝ｇ（Ｘ）と表す必要はないんですね！

質問中で挙げた計算方法と、この方法の両方で、Ｖの値は同じ値に導かれることも確認できましたが、こちらの方法の方がだいぶ計算が容易です!!

同じ体積を計算するにも、工夫のし甲斐があるのだなぁとつくづく感じました。


>変数：uを軸に沿って動かすのであれば、半径も uで表す必要があります。
私の方法では、半径PHは、uで明示的に表していませんが、uからtへの置換を行っているので省略することができます。したがって、どちらの計算方法でも（計算の苦労はだいぶ違います！が）Ｖの値は等しく算出されます。

お礼日時：2013/03/19 13:30

No.5 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/03/20 12:29

#3です。

曲線に沿った形で tが与えられているので、どうかな？と思ったのですが、
#4さんの言われているとおり、考え方自体は合っていますね。

関数電卓を使ってですが、答えがあうことも確認しました。

ただ、この積分は結構面倒ですね。
被積分関数を展開していくと、t* e^tや t^2* e^tといった項が現れます。
部分積分を繰り返し実行することになります。

そして、積分を実行後、e^α＝ 2α+ 1を代入する計算も必要です。


#4さんが書かれていた
＞横軸の t～t+dt に回転体のどのスライスが対応するのか,

についてですが、
点Pにおける接線の方向ベクトル：dP→＝ （dt, e^t/2* dt）を
直線：y＝ xの方向ベクトルL→＝ (1, 1)に射影したときの「大きさ」を考えることで、
　|du→|＝ dP→・L→/|L→|＝ √2/4* (2+ e^t)* dt

となり、ちゃんと被積分項の後半部分が現れてくれます。


失礼しました。＾＾；

この回答へのお礼

>#4さんの言われているとおり、考え方自体は合っていますね。
>関数電卓を使ってですが、答えがあうことも確認しました。
ありがとうございます。検証もしていただいて、安心感も増しました。

duとdtの長さ（変化の増分）の対応はベクトルでも表現できるのですね！


>ただ、この積分は結構面倒ですね。

そうなんです。そこで、問題文中のαの３次式がヒントになるのかな、、、と考えたのですが、
うまく利用する方法があるのか未だにわかりません。

同様の求積問題は、“斜回転体の体積”というテーマで、大学入試向けのテキストでは良く見かけるのだそうです。大学入試…！？この問題、私だったら、計算ミス、あるいは、時間切れで惨敗です（＾＾；）

お礼日時：2013/03/20 14:54

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/03/19 13:36

本題としては地道に計算するしかないんじゃないかなと思う.

で本題は終わって, と.

私も最初はおかしい感じがしていたんですが, じっと見ていたらあってるような気がしてきました＞#2. u が直線上を動くと思うと変ですが, 曲線上を動くと見ればいいような感じです. P(t, u) とおいて, 横軸の t～t+dt に回転体のどのスライスが対応するのか, そしてそのスライスの半径と厚みはどうなるのかを考えれば計算できそう.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

>本題としては地道に計算するしかないんじゃないかなと思う
私のはじめの方法よりの改善策は見つかりました。
ただ、αの３次形式で表されることは、計算の一助にならないようですね（汗


転載拒否のためリンクを示せないのが残念ですが、
円錐の側面積による求積もできることを知りました。

点Ｐからまっすぐ上にむかって直線を引き曲線と交わった点をＡとします。
（曲線 y=(e^x-1)/2 と直線 x=t との交点をＡとします。）
このとき、△AHPをy=x （線分AH）を軸として回転すると円錐が得られますが、
この円錐の側面積　π×PH×AP に厚みΔxをつけて求積します。
これだと、積分変数の方向をx軸として、

Ｖ＝∫[0,α] π・PH・AP dx
　＝∫[0,α] π・√2/4(2x-e^x+1)・(x-(e^x-1)/2) dx
　＝∫[0,α] π・√2/8(2x-e^x+1)・(2x-e^x+1) dx
　＝∫[0,α] π・√2/8(2x-e^x+1)^2 dx
として求積できます。計算量は、-45°回転と同じ程度です（笑）

お礼日時：2013/03/19 14:01

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/03/19 10:22

おはようございます。

詳細な回答が書かれていたので、やっと見えてきました。

結論からすると、式の立て方が間違っています。
変数：tは「曲線：y＝ (e^x-1)/2上の点P」を表すものとして与えられていますが、
積分は直線：y＝ xに沿ったものとなっており、ここが違っています。
回転体の体積を円盤を積み重ねて求める際の「微小な厚み」は、
その回転軸となる直線に沿ったものでなければなりません。

この辺りをすっきりさせる方法として、
一次変換を利用して軸を x軸か y軸に合わせる。という方法があります。
関数の変換が面倒そうですが、やってみると簡単です。
以下、ご参考まで。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5755198.html

参考URL：http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5755198.html

この回答へのお礼

>一次変換を利用して軸を x軸か y軸
>参考URL：http://okwave.jp/qa/q5755198.html
参考先と同様に、x= (X- Y)/√2, y= (X+ Y)/√2　という変換を考えてみましたが、
y=(e^x -1)/2 にこの変換を代入したとき、代入後の式をＹ＝・・・の形に表す方法がわかりません。
参考先のy=x^2では容易ですが、今回の曲線ではどうですか？

>その回転軸となる直線沿ったものでなければなりません。
そこで、変数uを回転軸OHに沿って動かしています。
tは、回転軸上の変数ではありませんが、置換積分により、積分の変数をuからtに変えています。

お礼日時：2013/03/19 12:00

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/03/19 04:28

要は展開してやるしかありません。

∫（0,α)e^mtdt=(e^αm-1)/m
∫（0,α)te^mtdt=e^αm(α-1/m)/m+1/m^2
∫（0,α)t^2e^mtdt=e^αm(α^2-2α/m+2/m^3)/m-2/m^3

(m=1,2,3)

を使います。それほど大変ではありません。

e^α=2α+1を使うことによってすっきりします。

答えはαの３次の項、１次の項は合いましたが２次のこうは合いませんでした。

たぶん計算間違いでしょう。

この回答への補足

質問の画像で、図や式が小さくてすみません。
それにも関わらず、計算を行っていただき、本当にありがとうございました。

補足日時：2013/03/19 08:54

この回答へのお礼

やはり、地道な計算しかないでしょうか…。

>答えはαの３次の項、１次の項は合いましたが２次のこうは合いませんでした。
私も再度計算をしてみましたが、α^2の係数は、-√2/2ではないですか？

被積分関数を展開すると、√2/32 π はインテグラルの外に出すとして、
8t^2 +2e^2t +2 -8te^t -4e^t +8t +4t^2 e^t +e^3t +e^t -4te^2t -2e^2t +4te^t
となり、それぞれの定積分∫（０，α）・dt を計算すると、それぞれ
8t^2　：8/3 α^3
+2e^2t　：4 α^2 + 4 α
+2　：2α
-8te^t　：-16 α^2 + 8 α
-4e^t　：-8 α
+8t　：4 α^2
+4t^2 e^t　：8 α^3 -12 α^2 + 8 α
+e^3t　：8/3 α^3 + 4 α^2 + 2 α
+e^t　：2 α
-4te^2t　：-8 α^3 -4 α^2 + 2 α
-2e^2t　： -4 α^2 -4 α
+4te^t　：8 α^2 - 4 α

したがって、
Ｖ＝√2/32 π　×（☆）
☆=
8/3 α^3
+ 4 α^2 + 4 α
+ 2 α
- 16 α^2 + 8 α
- 8 α
+ 4 α^2
+ 8 α^3 - 12 α^2 + 8 α
+ 8/3 α^3 + 4 α^2 + 2 α
+ 2 α
- 8 α^3 - 4 α^2 + 2 α
- 4 α^2 - 4 α
+ 8 α^2 - 4 α

よって、α^2の項は、
√2/32 π ×（★）= √2/32 π × -16 α^2 = -√2/2 π α^2
★=
+ 4 α^2
- 16 α^2
+ 4 α^2
- 12 α^2
+ 4 α^2
- 4 α^2
- 4 α^2
+ 8 α^2
=(4-16+4-12+4-4-4+8)α^2 = -16 α^2

なかなか骨が折れますが、仕方のない計算なのでしょうか。。。

お礼日時：2013/03/19 08:53