床関数と格子点

p は素数，Σはk=1からpまでの総和，[　] はガウス記号．

Σ[√(pk)]-Σ[(k^2/p)]

は偶数になるか，奇数になるかを調べよ．


解き方を教えてください．丸三日考えました．死にそうです．

No.1 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/05/04 16:44

求める値は、f(x)=√(px)とg(x)=x^2/pのグラフに挟まれた格子点の数と思われます。

図を書いてみれば分かると思いますが、f(x)とg(x)は直線y=xに関して線対称です。なので、g(x)より下の格子点の数はf(x)より上の格子点の数は同じです。
なので、挟まれていない部分の格子点の数は偶数です。全体の格子点お数は(p+1)^2個ありますから偶数です。なので、求める数も偶数になります。　かな？

No.2 ベストアンサー 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/05/04 22:52

追伸

挟まれた部分の格子点の数は、x=0,x=pに対応する2点を除きます。
g(x)=x^2/pより下側にある格子点の数がΣ[(k^2/p)]に該当します。
よってΣ[√(pk)]-Σ[(k^2/p)]=(p+1)^2-2Σ[(k^2/p)] -2 = 偶数-偶数-偶数 = 偶数

この回答へのお礼

ありがとうございます．理解することができました．
y=x に関して線対称に格子点が分布していて，
y=x上の格子点の個数を数えれば偶数か奇数かわかるわけですね．

お礼日時：2013/05/05 10:31