電子回路の微分方程式

抵抗RとコイルLからなる直列RL回路において電圧E(t)を印加する。
　　E(t)=V (0<=t<=T),　 0(T<t) 　　　V(定数）
電流Ｉ（ｔ）に関する微分方程式を立てて解いたのですが、微分方程式はtの場合分けをしたままで良いのでしょうか。(0<=t<=Tのとき・・・、T<tのとき・・・のように）

No.5 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/07 10:29

#1,#4です。

A#4に貼り付けミスがありましたのでi(t)(t≧T）の式を訂正します。

誤；i(t)=(V/R){1-e^(-Rt/L)}e^(-(R/L)(t-T)) ←T≦tの答え
正：i(t)=(V/R){1-e^(-RT/L)}e^(-(R/L)(t-T)) ←T≦tの答え

tで場合分け、場合分けしないのどちらの方法でもi(t)のグラフは一致します。
R=1[Ω],L=1[H],V=2[V],T=2[s]とした時のRL直列接続回路に単一矩形波電圧を加えた時の上の解法で求めた電流i(t)[A]のグラフの図を参考までん添付します。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2013/05/11 12:54

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/07 21:41

ステップ関数を含んだ式を微分することは、

関数を超関数へ一般化すれば可能なのですが…
物理現象を表す数式が超関数の方程式として
立式可能なのか、超関数の物理的意味は何か
を説明できなければ、単なる数式遊びに過ぎない
でしょう。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/06 21:46

No.1です。

場合分けしても良いし、場合分けしなくても良いことを確認するため
２つの方法で解いてみますので、比較して見て下さい。

ラプラス変換を使う方法で
場合分けする方法と場合分けしない方法の2通りで解いてみましょう。

[1]場合分けする方法
0≦t＜Tの場合
Ri(t)+Ldi(t)/dt=V
初期値i(+0)=0として,ラプラス変換して
RI(s)+LsI(s)=V/s
I(s)=V/{s(Ls+R)}=(V/L)/{s(s+(R/L))}
=(V/L)(L/R){(1/s)-(1/(s+(R/L)))}
=(V/R){(1/s)-(1/(s+(R/L)))}
ラプラス逆変換して
i(t)=(V/R){1-e^(-Rt/L)}　←0≦t＜Tの答え

t≧Tの場合
コイルLの電流は急には変化しない（磁束Li(T)保存則）から
初期条件i(T+0)を求めると
i(T+0)=i(T-0)=(V/R){1-e^(-RT/L)}
回路方程式は
Ri(t)+Ldi(t)/dt=0
ラプラス変換して
RI(s)+LsI(s)-Li(T+0)=0
I(s)=Li(T+0)/(Ls+R)=i(T+0)/{s+(R/L)}
=(V/R){1-e^(-RT/L)}/{s+(R/L)}
ラプラス逆変換して
i(t)=(V/R){1-e^(-Rt/L)}e^(-(R/L)(t-T)) ←T≦tの答え

となります。

次に
[2] 場合分けしない方法
回路方程式
Ri(t)+Ldi(t)/dt=V{u(t)-u(t-T)}
初期値をi(+0)=0として,ラプラス変換すると
RI(s)+LsI(s)=V{(1/s)-(1/s)e^(-Ts)}=(V/s){1-e^(-Ts)}
I(s)=(V/L){1-e^(-Ts)}/{s(s+(R/L))}
=(V/L){1-e^(-Ts)}(L/R){(1/s)-(1/(s+(R/L))}
=(V/R){1-e^(-Ts)}{(1/s)-(1/(s+(R/L))}
ラプラス逆変換して
i(t)=(V/R){1-e^(-Rt/L)}u(t)-(V/R){1-e^(-R(t-T)/L)}u(t-T)
これがt≧0の場合分けしない方法による答えです。

場合分けする方法としない方法の答えが一致することを、
後者を0≦t<TとT≦tの場合に分けて確認してみて下さい。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/06 13:05

あ、いけね。

lim[t→T+0] I(t) だった。
t＞T の話だからね。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/06 05:58

よいです。

…というか、
t=T で解が不連続になるために、
t=T を含めて成立する「微分」方程式の解は
存在しないのです。
t＜T の解と t＞T の解に分けて
解かざるを得ません。
t＞T の解の初期条件は、
lim[t→T-0] I(t) の値を使いましょう。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/05 21:06

>微分方程式はtの場合分けをしたままで良いのでしょうか

良いですよ。t=Tの時の電流i(t)がT<tの微分方程式の初期値になることに注意して解けば良いでしょう。

あるいは、単位ステップ関数u(t)を使えば場合分けしないまま解くことも可能です。

解法も
i(t)についての微分方程式を立てて時間領域(t領域)で解く解き方
　Ri(t)+Ldi(t)/dt=V{u(t)-u(t-T)}, 初期値i(+0)
と
ラプラス変換を利用してs領域で解く方法
　RI(s)+LsI(s)-Li(+0)=(V/s){1-e^(-as)}
もあります。

通常、大文字のE(t),I(t)は使いません（ラプラス変換したときのE(s),I(s)でE,Iを使う）。小文字のe(t),i(t)を使うようにしましょう！