トリボナッチ数列とコーシー列

トリボナッチ数列｛F_(n)}の隣接する二項の比a_(n)が収束することをコーシー列を絡めて証明する方法を教えて下さい
大学初等数学を勉強している際、コーシー列で証明できるという事を書いてある本を数冊見つけましたが具体的な証明方法を載せている本を見つけることはできませんでした
また、教授に聞いても簡単、コーシー列で証明できる程度のことしか聞くことができず、また、検索しても証明方法を見つけることができませんでした
この範囲のテストも終わりゆっくり考える時間を取れるようになりましたが三週間考えてもわかりません
ご協力をお願いします

ただし
トリボナッチ数列
F_n=F_(n-1)+F_(n-2)+F_(n-3)
二項間の比
a_n=F_(n+1)/F_(n)
としていただけると幸いです

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/18 00:40

コーシー列？

線型漸化式を解いて、一般解を出しちゃうほうが、楽。
特性方程式の解で絶対値最大のものが一個
(共役複素解や、実数の±ではない)ことを示せばいい。

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/18 14:16

線形漸化式 F_n = F_(n-1) + F_(n-2) + F_(n-3) の解は、

その特性方程式 x^3 = x^2 + x + 1 の解 α,β,γ を使って
F_n = Aα^n + Bβ^n + Cγ^n と書ける。
A,B,C は、初期条件で決まる定数。

α,β,γ の中で絶対値最大のものが重複しないならば、
F_(n+1)/F_(n) の分子分母をその n 乗で割ればいい。
例えば、|α|>|β|, |α|>|γ| のとき、
F_(n+1)/F_(n) = {Aα^(n+1)+Bβ^(n+1)+Cγ^(n+1)}/{Aα^n+Bβ^n+Cγ^n}
= {Aα+Bβ(β/α)^n+Cγ(γ/α)^n}/{A+B(β/α)^n+C(γ/α)^n}
→ (Aα+0+0)/(A+0+0)　;when n→∞
= α.
と、収束する。

y = f(x) = x^3 - (x^2 + x + 1) の変曲点が
f''(x) = 0 ⇒ x = 1/3 より (x,y) = (1/3,-38/27) だから、
グラフを大まかに考えると、f(x) = 0 の解は x > 1/3 に一つあり、
あと二つは共役複素解か、実数解だとしても、絶対値は上記の解より小さい。