標準偏差について

標準偏差とは、値のばらつき具合と理解しています。しかし以下の記事の中で
（http://news.goo.ne.jp/article/gizmodo/trend/gizm …）
本棚が２つある家庭で、「本が数冊しかない家に比べて標準偏差1.15の違いがあった。」
という説明がなされています。

記事の内容からいって本棚が２つある家庭のこの方が、本が少ない家庭の子より勉強ができる
という意味だと思いますが、得点のばらつきである標準偏差が大きいということは、優秀さと関係が
あるのでしょうか。さっぱり理解できないのですが。

No.7 回答者： fluidicB 回答日時： 2013/06/24 20:47

別のわかりやすい（かもしれない）言い方をすると、

「...しかない家に比べて、偏差値が11.5高かった」
と言ってます。

集団の平均値を偏差値50として標準偏差分高ければ+10で偏差値60、標準偏差の2倍低ければ-20で偏差値30
となる計算が、偏差値です。なので、標準偏差の1.15倍ってのは偏差値で11.5の差があるという意味。

もし比較している２つの集団が同数なら一方の平均の偏差値が55.75で、もう一方が44.25ってことなんですけど、たぶんそんなこともないでしょうから、多少ずれてるはず。

原文がある程度わかっている人向けに書かれて、訳文が誤解混じりなので、質問者様が混乱するのも無理はないかなと思います。前回答者様の指摘どおり、標準偏差の大きさの問題は議論されておらず、標準偏差を基準とした各集団の得点平均値を議論しています。


なお質問者様に誤解があるようです。標準偏差の計算では、平均との差の２乗の平均をとってから平方根をとります。これは差の平均になりません。いくつか差が少し大きめのデータがあると２乗するのでそれが大きな値になるから、といえば雰囲気がわかりますか？　結局、よくある釣り鐘状の分布の横幅と強く関係している値です。

普通にまともな大規模学力試験なら、その得点分布はある程度正規分布っぽくなるものです。
なので統計議論そのものは正規分布を前提に話を進めます。おおざっぱな議論はそれでＯＫです。
細かすぎる話をすると、例外が出るかもしれません。そういうものです。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/24 15:57

←A No.5 補足

その追加質問は、統計学の質問ではなくて、
「優秀」とは何か？という言葉の問題…
または、成績評価の問題ですね。教育学？

ともあれ、参照先にある 1.15 標準偏差云々は、
二つの集団の標準偏差が、一方が他方の 1.15 倍
だったという話ではないと思いますよ。
二つの集団の成績の差が、標準偏差の 1.15 倍
だったということでしょ。

成績の良し悪しを比べるときに、
ほとんどの人が 60 点を取っている試験と
0 点も 100 点もかなりの人数いる試験とでは、
80 点取った人の評価は違うだろうと。
そのために、差を点数そのものではなく、
点数差を標準偏差で割った値で考えるんです。
今回は、その割った値が 1.15 だったという話。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/23 23:18

1.15標準偏差違うというのは、要するに、

偏差値が 11.5 違うということですよ。

平均点を 50、そこからの上下を
標準偏差ぶんの点数を 10 に換算して表す
のが、偏差値ですからね。
得点がちょうど 平均点+標準偏差 だったら、
偏差値 60 ということです。

二つの集団それぞれの平均点の差が、
全体の標準偏差の 1.15 倍ぶんの点数だった
ってことでしょ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
実は数学については全くのど素人なので、皆さんの回答を見させていただいていっそう混乱してしまいました。

私が理解していることは
　標準偏差とは、平均からのそれぞれの値のばらつき具合の平均であるということ。

疑問点は
　そのばらつき具合である標準偏差が大きいというのは優秀であるということになるのか？
ということです。

例えば、極端な話
１００名のテスト結果が、５０名が１００点、５０名が０点の場合、平均点が５０点で、標準偏差は５０
別の１００名の同じテストの結果が、全員５０点の場合、平均点が５０点、標準偏差は０
（この計算自体違っているのでしょうか？）

この場合、前の１００名のグループの方が優秀な集団といえるのか？
という疑問です。

お礼日時：2013/06/24 14:32

No.4 回答者： quaestio 回答日時： 2013/06/23 18:18

元の報告をざっと見ただけなので、詳しいところはわかりませんが、テストのスコアを回帰分析にかけているようですね。

回答No.1お礼
> 偏差値が～倍というのならわかるのですが、平均からの隔たり具合が1.15倍というのは、成績優秀といことになるのでしょうか？平均からの隔たりですから平均以上、平均以下もバラエティに富んでいるという意味にしか思えないのですが。

多分勘違いをされていると思います。
例えば、平均が0である分布と平均が1.15である分布の平均の差を考えてみましょう。
標準偏差がどちらも同じ1であったら、その平均の差は標準偏差の1.15倍ですよね。

本棚が２つある家庭と数冊しかない家庭との標準偏差に違いがあると言っているのではないはずです。
（最初に書いたようにざっと見ていないので、断定はしません）

報告書15ページの脚注20
On these tests, one grade-level equivalent equals roughly 35 percent of a standard deviation
とあるので
1.15 ≒　0.35×3
から3倍と言っているのでしょう。
グレードが何を意味するのかはわかりませんけど。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/06/23 16:23

差が 1.15 standard deviations ってどういう意味でなんでしょうね。

何らかの試験の２集団の平均点を、全体の標準偏差で規格化して差をとったということ？

つまり偏差値が 11.5 違うって意味かな？

そこから「学習量が3倍違う」というところが判りませんが、偏差値から学習量(ってなんだろう？)が
判るような何か別の統計があるのかな？

なんか、書かれていないことがいろいろありそうな気がします。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。
そうですね。標準偏差が1.15違うと学習量が３倍も違うというのもよくわからない話です。そもそも標準偏差1.15の違いというのは、100点満点の試験で1.15点というわけではないですよね。それだとほとんど違いはないですから。

お礼日時：2013/06/23 16:52

No.2 回答者： quaestio 回答日時： 2013/06/23 15:56

回答No.1

（誤）語訳
（正）誤訳

No.1 回答者： quaestio 回答日時： 2013/06/23 15:50

語訳です。

原文は1.15 standard deviationsとあります。

（誤）本が数冊しかない家に比べて標準偏差1.15の違いがあった。
（正）本が数冊しかない家に比べて標準偏差の1.15倍の違いがあった。

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。偏差値が～倍というのならわかるのですが、平均からの隔たり具合が1.15倍というのは、成績優秀といことになるのでしょうか？平均からの隔たりですから平均以上、平均以下もバラエティに富んでいるという意味にしか思えないのですが。
つまり成績優秀な子のほうが標準偏差が大きいということは、成績が優秀でない子は平均周辺に集まり、優秀な子は平均より上にも下にもかけ離れているという意味でしかないと思うのですが。

お礼日時：2013/06/23 16:46