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No.1
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ロジスティック写像を
f(x) = ax(1-x)
とします。f(x)=x より不動点を求めると、x=0, 1-(1/a) が不動点であることが分かります。不動点が安定であるためにはその点で接線の傾きの絶対値が1より小さくなければならないので
-1 < f'(1 - 1/a) < 1
より不動点が安定である条件は
1 < a < 3
であり、a=3 が最初の分岐点となります。次に2回合成関数を
f2(x)=f(f(x))=a^2x(1-x)(1-ax(1-x))
としてf2(x)=xより不動点を求めると、x=0, 1-(1/a)の他に、
q1,q2 = [ a+1±√{(a+1)(a-3)} ]/2a
が不動点となり、x=0, 1-(1/a)がf(x)の不動点なので、q1,q2は2周期点となります。(f(q1)=q2, f(q2)=q1)。
f2'(q1) = f'(f(q1))f'(q1) = f'(q2)f'(q1) = f2'(q2)
= 1 - (a+1)(a-3)
となるので、安定2周期点が存在する条件-1<f2'(qi)<1は、
3 < a < 1+√6
となり、a=1+√6が4周期に分岐する点となります。カオスに遷移する点a=3.5699は数値計算により求められたようです。私が見た本の中では
早間慧「カオス力学の基礎」(現代数学社)
が分かりやすいと思いました。
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