数学の問題がわかりません

不等式ax^2 - (a-1)x + 1>0が、すべての実数xに対して成り立つような実数aの値の範囲は何か

という問題なのですが、何から手を付けていいかわかりません。解法を教えてください。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/07/16 19:28

何から手をつけるかというと、

y = ax^2 - (a-1)x + 1 のグラフの概形から考え始める。

a = 0 のとき一次関数
a ≠ 0 のとき二次関数で、
a > 0 なら下に凸
a < 0 なら上に凸であることがスグに見えないといけない。
ここがピンとこないのは、練習不足です。

一次関数や上凸の放物線なら、どこかで y < 0 になるから、
下凸の場合、すなわち a > 0 の場合を考えます。このとき
判別式 ＜ 0 が 全ての x で y > 0 の必要十分であることは、
二次関数のグラフの書き方、すなわち平方完成を知っていれば判る。
A No.2 にあるとおり という訳です。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/07/16 07:47

a<0とすると|x|→∞のとき左辺→-∞となるので|x|が十分大きくなると左辺＜0となって不等式が成り立たない、従ってa≧0。

さらにa=0とすると左辺=x+1となるので、x＜-1では左辺＜0となり不等式が成り立たない。従ってa≠0。
以上から、　a＞0でなければならない。
a＞0のとき不等式が全ての実数xについて成立するための必要十分条件は
左辺=0とおいたxについての二次方程式が二虚根をもつこと、すなわち、
判別式D=(1-a)^2-4a=a^2-6a+1＜0　(a＞0) が成り立つことである。
これを解いて ∴3-2√2＜a＜3+2√2　…（答え） 　

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/07/16 07:41

＞与式の左辺は二次曲線y=ax^2-(a-1)x+1なので、この曲線のグラフが

下に凸(∪のような形)で、かつx軸と共有点を持たない
(ax^2-(a-1)x+1=0が実数解を持たない、すなわち根の判別式が負)なら、
与式が成り立ちます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/07/16 03:24

注意すべき点はいくつかあるけど, 基本は平方完成.