関数 陽関数 陰関数

陽関数と陰関数について教えて下さい。

まず、陽関数と陰関数は関数における分類ではなく
形式だと理解しています。

x,yを変数、a,bを定数とする。

陽関数形式は、
y=ax^2+bのような形式。

対して、陰関数形式は、
y-ax^2-b=0のような形式。



質問（1）
陽関数形式についての疑問なのですが、
例えば、2y=ax^2+bは陽関数形式と言えるのでしょうか？
y=1/2（ax^2+b）としなければ陽関数形式とは言えない
のでしょうか？

また陰関数形式は、必ず右辺が0でなければならない
のでしょうか？
例えば、y-ax^2=bは陰関数形式と言えないのでしょうか？



質問（2）
関数は、ある値xに対してただ1つのある値yが対応するような関係
だと理解しています。
このとき、y=f(x)と表して、yはxの関数と言う。

例えば、

y^2=x⇔y=±√xです。
陽関数形式と言う場合、1対1の対応がなければいけない
のでしょうか？
y=±√xは陽関数形式と言えますか？


y^2-x=0は陰関数形式と言えるのでしょうか？
y^2=xは、y=±√xと表されyはxの関数ではありません。

陰関数形式と言う場合、1対1の対応がなければいけない
のでしょうか？
y^2-x=0は陰関数形式と言えますか？



以上、ご回答よろしくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2013/09/12 03:42

　数学で陰関数と言う時には、普通、「陰関数定理」によって一意的な存在が証明される関数を指します。

これは式の形ばかりの話ではないんです。

　一方、ご質問は専ら式の形に注目なさっている。それはそれで結構なのですが、ただ心配なのは、お書きの式は省略だらけであることを自覚なさっているかどうか、言い換えれば、式の意味を正確に捉えていらっしゃるかどうか。
　そこんとこをちょっと考えてみませんか？まず、

(1) y:D→E (yはDからEへの関数である。)
(2) ∀x ( x∈D ⇒ f(x,y)=0)である。（ただしfはなにか具体的な式。）
(1)(2)を共に満たすyを全て求む

と要求されたら、(1)(2)の解の集合は
　　Y = { y | y:D→E ∧ ∀x ( x∈D ⇒ f(x,y)=0)}
と書けますね。これはいわゆる関数方程式（関数が解になる方程式）です。ただ、「y:D→E 」だの「∀x ( x∈D ⇒…)」だのが文脈から分かり切ってるという場合、それらを省略して単に
　　f(x,y)=0
と書いて済ませちゃったりもする。

　微分方程式も関数方程式。「加法定理」
　　y(a+b)=y(a)y(b)
は、もうちっと正確に書けば
　　y:D→E かつ、∀a∀b(a∈D ∧ b∧D ⇒ y(a+b)=y(a)y(b))
ということで、これも関数方程式です。そして、ご質問の「陰関数」もまた関数方程式です。（ある関数方程式の解として定義される関数、ということですね。）

　関数方程式
　　y^2 = |x|
の解の集合Yは、集合
　　Y = {y | y:実数→実数 かつ ( ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =√|x|) または ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =-√|x|) ) }
です。（±√|x| なんてのはYの省略表現に過ぎません。）この関数方程式には二つの解
　　 y:実数→実数 かつ ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =√|x|)
　　y:実数→実数 かつ ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =-√|x|)
がある。ですから、これだけだとyを一意的に定義したことにはなっていません。
　さらに条件を追加して、たとえば y(x)≧0 と要求してやると、これで一つの解が選び出せるので、「陰関数」としてyを定義できます。まとめると、結局
　　y:実数→実数 かつ、∀x(x∈実数 ⇒ (y(x))^2 = |x|) かつ、 ∀x(x∈実数 ⇒ y(x)≧0)
という条件で一つの関数yを定義したわけで、そのyを陽に書けば
　　y:実数→実数 かつ、∀x(x∈実数 ⇒ y(x) = √|x| )
ですけど、これを省略して
　　y(x) = √|x|
と書いて済ませているわけです。

　同様のことは微分方程式ではおなじみです。たとえばy:実数→実数について、微分方程式
　　dy/dx = y
の解を
　　y = C (e^x)
と書いて済ませますけど、これは
　　Y = { y | y:実数→実数 かつ C∈実数 かつ ∀x(x∈実数 ⇒ y(x) =C (e^x)) }
という解の集合のことです。さらに条件を追加して、たとえば
　　y(0) = 1
を要求すると、ようやくyが一意的に決まります。

　こういう捉え方をすると、
　　y(x) = √|x|
も（自明に解けているけれど）関数方程式には違いない。というわけで、ご質問で導入された用語を使って言うなら、
　　「陽関数形式」とは自明に解けている「陰関数形式」のこと
ですよね。既に見たように、厳密なことを考慮すると式だけ書いても不足で、実はいろいろ条件が付帯している。そういうことまで考えますと、単に式の格好だけに注目する見方にばかりこだわるのもちょっとどうかな、という気がしてきません？


> 質問（1）

は勝手に作った用語である「陰関数形式」「陽関数形式」についての質問なんですから、答えられるのは質問者氏ただひとり。要するに「陰関数形式」「陽関数形式」という用語の定義がまだ曖昧なんですね。

> 質問（2）

　ある関数yを定義する、という意味では、仰る通り、解が丁度一つになるように条件を与えねばなりません。
　しかし、たとえば「y^2 = |x|を満たすyが、以後、y^2の形でしか使われない」という使い方をする場合なら、解が二つあるままでも（それぞれの解は、それぞれ関数なのですから）問題は起こらないでしょ。
　さて、これとは別の話として、

> y^2-x=0は陰関数形式と言えますか？

は、「陰関数形式」という用語に関する問いである。なので、答えられるのは、質問(1)と同様、ご自身だけです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

私にはちょっと難しいです。
もう少し考えてみます。

お礼日時：2013/09/16 21:17

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/13 14:48

陰関数定理が保証するのは、局所一意的な関数の存在なので、

それを接続して大域的な関数を考えるときに、質問の(2)が
再び登場することになる。±√ が関数であるか否かは、
何を「関数」と呼ぶことにしたかの、規約の問題でしかない。
多価関数という、誤解の多い用語もある。

等式のことを関数と呼ぶのではない…という点については、
No.1 さんの仰るとおり。