不等号の意味について

不等号について考えていると少し疑問に思ったことがあるのでお願いします


例えば

3<10

の場合、これは「3は10より小さい」ということを表していると思います


x^2-2x-3 < x^2+2x-4　　

という式の場合は
これは
x^2-2x-3 が常に x^2+2x-4より小さいというわけではないですよね。

これは
「x^2-2x-3がx^2+2x-4より小さい時の範囲」ということを表している
と考えればいいのでしょうか?
そして
x^2-2x-3 < x^2+2x-4　　の解を求めよ、と言われたら

x^2-2x-3がx^2+2x-4より小さい時の範囲のxの値を求める

ということでしょうか?

よろしくお願いします

No.3 ベストアンサー 回答者： chie65535 回答日時： 2013/10/30 16:33

＞x^2-2x-3 < x^2+2x-4　　

＞という式の場合は
＞これは
＞x^2-2x-3 が常に x^2+2x-4より小さいというわけではないですよね。

意味は「x^2-2x-3 < x^2+2x-4が成り立つ時」です。

＞x^2-2x-3 < x^2+2x-4　　の解を求めよ、と言われたら
＞x^2-2x-3がx^2+2x-4より小さい時の範囲のxの値を求める

でだいたい合ってますが、正確には

「x^2-2x-3 < x^2+2x-4が成り立つ時のxの範囲を求めよ」

です。

この回答へのお礼

皆さんありがとうございます。

お礼日時：2013/11/04 20:09

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/31 20:05

不等式 0＜x≦4 の解は、

開区間 (0,4) ではないです。
述語(略記ですが) 0＜x≦4 が
真となる x の範囲は、
半開半閉区間 (0,4] です。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/30 19:43

範囲と命題ははっきりとわけて考えたほうがよいです。

x の範囲が (0, 4)={x|0 < x ∧ x < 4} であるとき

0 < x ∧ x ≦ 4 は真です。

x≠4 だから偽(範囲が一致しない)なんて考えだすとわけがわからなくなります。

余談ですが、中学や高校の先生でもこの混同をしてしまう方がおられるそうで、
数学系の雑誌で時々話題になります。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/30 16:34

とりあえず、"命題　述語" を google してみてください。

「命題」とは、真偽が決められるような論理式、
「述語」とは、変項を含む論理式のことです。

例えば、「3 < 10」は命題。
「3 は 10 より小さい」ことを主張する式で、値は真です。

一方、「x^2-2x-3 < x^2+2x-4」という式の場合は、
変項 x を含んでおり、これだけでは真偽は決まりません。
x = 1 のときは真、x = -1 のときは偽になります。

＞　これは
＞　「x^2-2x-3がx^2+2x-4より小さい時の範囲」ということを表している
＞　と考えればいいのでしょうか?
…という文章が何を言わんとしているのかは全く判りませんが、

「x^2-2x-3 < x^2+2x-4 の解を求めよ」と言われたら、それは
述語「x^2-2x-3 < x^2+2x-4」が真となるような x の範囲を求めよ
という意味です。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/10/30 16:06

等式の中に, 恒等式と方程式があるというのはいいでしょうか?

ちなみに
x^2-2x-3 < x^2+2x-4
という不等式は「x^2-2x-3がx^2+2x-4より小さい」ということだけを言っています. 「範囲」とは言っていません (そもそも「x^2-2x-3がx^2+2x-4より小さい時の範囲」は表現としておかしい).

x^2-2x-3 < x^2+2x-4　　の解を求めよ
というのは「x^2-2x-3 < x^2+2x-4 という不等式を成り立たせるような x の値を過不足なく求めよ」ということ (「何らかの条件を成り立たせるような値を過不足なく求める」という意味で「方程式の解」と同じ) です. 「x^2-2x-3がx^2+2x-4より小さい時の範囲のxの値を求める」は相変わらず表現がおかしい.

No.1 回答者： CC_T 回答日時： 2013/10/30 15:37

x^2-2x-3 < x^2+2x-4　　・・・1

左辺と右辺それぞれから（x^2+2x-3)を引くと、１式は
-4x<-1
となる。
両辺に-1/4を掛けると
x>1/4　　　※マイナス値を掛ける場合、不等号の向きを逆にする事に注意。

この式は、xがとりうる範囲（xが1/4より大きい場合に与式が成り立つ事）を示しています。