A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
>元の問題 0<α<1、a>0、b>0とすれば、a^α+b^α>(a+b)^α は、(a^α+b^α)^(1/α)>a+b と同値なので、 y=(a^x+b^x)^(1/x) (0<a≦b) のグラフを調べてもよいことになります。
>このグラフはソフトで調べると、 -∞<x<0のとき、単調減少し、0<y<a 0<x<∞のとき、単調減少し、b<y<∞ となるようです。
>…グラフを手計算で書こうとして行き詰まってしまいました。
>y=(a^x+b^x)^(1/x) (0<a≦b) の対数をとり、 log y=(1/x)log(a^x+b^x) 微分して、 y'/y=(1/x^2)[{(log a)a^x+(log b)b^x}{x/(a^x+b^x)} - log(a^x+b^x)] が負であることを示そうとしたのですが、うまくいきません。
算式上でグラフを追跡するにしては、ドンドン煩雑な方へ入り込んでいく観がありますネ。
ANo.3 の参考 URL (命題 1.7) の「グラフ追跡」では、
(x^p+b^p) > (x+b)^p
なる順序 (大小) 関係の見積もりを、
f(x)= (x^p+b^p)/(x+b)^p
なる「比」関数の増減追跡により、簡潔に済ませている。
…この手法をそのまま 0 < p < 1 のケースに流用したのが ANo.5 。
しからば、
y = (a^x + b^x)^(1/x) > a + b (0 < x < 1, a, b > 0) の形にして、「比」関数を禁じ手にする。
↓
対数をとり、 Ln(y) = (1/x)Ln(a^x+b^x) さらに微分してしまうと?
… …
手続きが煩雑化し、(解決できるにしても) 容易には見通せなくなりつつあります。
No.5
- 回答日時:
謹訂正。
つまり、f(x)= (x^p+b^p)/(x+b)^p にて、
2^(1-p) > f(x) > 1
↓
2^(1-p) * (x+b)^p > x^p + x^p > (x+b)^p
みなさまありがとうございます。
0<a<1,x>0のとき、
1+x^a>(1+x)^a
を示すのに、
f(x)=1+x^a-(1+x)^a
f'(x)=a/x^(1-a) - a/(1+x)^(1-a)>0
から、
f(x)=1+x^a-(1+x)^a>f(0)=0
となり示すことができました。
ところで、元の問題
0<α<1、a>0、b>0とすれば、
a^α+b^α>(a+b)^α
は、
(a^α+b^α)^(1/α)>a+b
と同値なので、
y=(a^x+b^x)^(1/x) (0<a≦b)
のグラフを調べてもよいことになります。
このグラフはソフトで調べると、
-∞<x<0のとき、単調減少し、0<y<a
0<x<∞のとき、単調減少し、b<y<∞
となるようです。
しかし、グラフを手計算で書こうとして行き詰まってしまいました。
y=(a^x+b^x)^(1/x) (0<a≦b)
の対数をとり、
log y=(1/x)log(a^x+b^x)
微分して、
y'/y=(1/x^2)[{(log a)a^x+(log b)b^x}{x/(a^x+b^x)} - log(a^x+b^x)]
が負であることを示そうとしたのですが、うまくいきません。
新しく質問投稿させていただこうと思っています。
No.4
- 回答日時:
< ANo.3
…に蛇足を付加。
参考 URL 「命題 1.7」の証明にある f'(x) を見ると
0 < p 1 の場合には x=b にて f は最大値 2^(1-p) をとるとわかります。
つまり、f(x)= (x^p+b^p)/(x+b)^p にて、
2^(1-p) > f(x) > 1
↓
2^(p-1) * (x+b)^p > x^p + x^p > (x+b)^p
No.3
- 回答日時:
参考 URL (エンコード = UTF-8 ) から無名の「命題 1.7」の前半を盗用すれば?
その筋書きだけ…。
「命題 1.7」の前半から (部分的な整形あり) 。
a, b > 0, p > 1 のとき、
a^p + b^p < (a+b)^p
両辺を (1/p)- 乗して、
(a^p + b^p)^(1/p) < (a+b)
ここで、a^p=A, b^p=B とすると?
(A + B)^(1/p) < A^(1/p) + B^(1/p)
…を得て、チョン。
「命題 1.7」の証明は、簡潔かつ明快。
参考URL:http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/func …
No.2
- 回答日時:
イメージだけです。
y=x^α とします。
これを上に1だけ平行移動したものを y1
左に1だけ平行移動したものを y2
y1=1+x^α
y2=(1+x)^α
x=0,y=1を交点に持ちます。
x>0,y>1の範囲では交点を持ちません。
α>1のとき、y1,y2は下に凸です。
x>0,y>1 で y1<y2
0<α<1のとき y1,y2は上に凸です。
x>0,y>1 で y1>y2
No.1
- 回答日時:
(1) 0<α<1かつ 0<x≦1 ⇒ x^α ≧ x
(2) 0<α<1かつ 1<y ⇒ y^α < y
はカンタン(もちろん、αが実数でもOK)。
さて、(2)でy=1+xとすれば、(1)と併せて
(3) 0<α<1かつ 0<x≦1 ⇒ 1+x^α > (1+x)^α
が言えますね。
ここでx=bとすれば、質問にお書きの最後の式が0<b≦1の場合に成立つこと:
0<α<1かつ 0<b≦1 ⇒ 1+b^α > (1+b)^α
の証明が得られます。
また、x=1/bとすれば
0<α<1かつ 0<1/b≦1 ⇒ 1+(1/b)^α > (1+1/b)^α
であり、さらに不等式の両辺をb^α倍すれば
0<α<1かつ 0<1/b≦1 ⇒ b^α+1 > (b+1)^α
つまり、
0<α<1かつ 1≦b ⇒ 1+b^α > (b+1)^α
だから、質問にお書きの最後の式が1≦bの場合にも成立つことが証明できます。
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