AがBに勝つ確率とBがCに勝つ確率からAがCの確率

AがBに勝つ確率と、BがCに勝つ確率から、AがCに勝つ確率が計算できますか？

A、Bの２人で競走をした時、Aが勝つ確率を2/3とします
B、Cの２人で競走をした時、Bが勝つ確率を2/3とします
この時、A、Cの２人で競走をした時、Aが勝つ確率は計算できますか？

A、B、Cの３人で競走をした時、それぞれが優勝する確率を計算しようとしたのですが
Aが優勝するのは、AがBに勝ち、かつ、AがCに勝つ
Bが優勝するのは、BがAに勝ち、かつ、BがCに勝つ
Cが優勝するのは、CがAに勝ち、かつ、CがBに勝つ

AがCに勝つ確率をXとすると
Aが優勝する確率は、2/3*X
Bが優勝する確率は、1/3*2/3=2/9
Cが優勝する確率は、(1-X)*1/3

2/3*X+(1-X)*1/3=7/9
X=4/3
となってしまいます
AがCに勝つ確率は133％って変ですよね
計算の仕方を間違えてますね

Cが優勝する時、Aに勝っているのに、Bには1/3の確率でしか勝てないってのは変だし…

No.3 ベストアンサー 回答者： QoooL 回答日時： 2014/06/15 10:04

こんにちは。

きっと、こないだのイロレーティングの話から、こういう疑問がわいたのですね？

まず結論から言うと、数学の世界では、計算ができません。

ただイロレーティングの世界では、計算ができます。
なぜならレーティングでは、
Ａ＞Ｂ＞Ｃ　という序列が仮定されれば、
ＡがＣに勝つ確率は　１／２　より大きくないと、均衡が崩れるからです。
だからウィキペディアのページには、
-------------------
3人の対局者A,B,Cについて
AがBに勝利する確率をＥAB、
BがAに勝利する確率をＥBA
などと定める。
対局者間の勝率について次のような「仮定」を置く。
ＥAC／ＥCA＝（ＥAB・ＥBC）／（ＥBA・ＥCB）　・・・式１
-------------------
と書いてあって仮定という言葉が使ってあるのです。
現実社会ではこのような仮定が崩れることもしばしばありますね。
他の方がおっしゃるジャンケンも正にそうです。

ギャンブルには特に、この仮定が当てはまらないと思いますよ、私は全くやりませんけど。
競輪は特に、誰がどこの出身か、誰と誰が先輩後輩の関係か、という要素が重要と聞きます。
競馬でも、逃げ切りとかまくりとか、馬のタイプの相性、鞍上の騎手のうまさによって勝率はだいぶ変動するようですね。
「引退記念」レースともなればそれも無視できません。
サッカートトでも、ホームかアウェーか、緒戦で緊張しているか、といった要素が影響するでしょう。超天才と言われるホーキング博士が、「サッカーである国が勝つ方程式」　というのを発表していて、なかなかおもしろかったです。

実力に比例しそうなテニスの世界ですら、パワープレイヤーか、ラリープレイヤーかで相性が分かれますね。
ということは、将棋の世界でも、穴熊だの棒銀だの振り飛車だの、「クセ」による相性があるわけです。例え「どんな展開にも柔軟に対応できる」プロであろうとも。いわゆる「番狂わせ」が起きますね。


さて、式１はこう書き直せます。
ＥAB・ＥBC・ＥCA　＝　ＥBA・ＥCB・ＥAC　・・・式２
分数がない方が人間にとって自然でしょう？　（まあ確率自体が分数ですが）
一見ややこしいですけど、
左辺は　ＡがＢ、ＢがＣ、ＣがＡ　という順で循環ですし、
右辺は　ＡＢ　を　ＢＡ　に置き換えるなど、逆にしているだけです。

で、この式に
ＥAB＝２／３
ＥBC＝２／３
ＥAC＝Ｘ
と、
ＥBA＝１／３
ＥCB＝１／３
ＥCA＝１－Ｘ
を代入すると、
Ｘ＝４／５
が得られます。

A、Bの２人で競走をした時、Aが勝つ確率を2/3とします。
B、Cの２人で競走をした時、Bが勝つ確率を2/3とします。
この時、A、Cの２人で競走をした時、Aが勝つ確率は
イロレーティング上、４／５と計算できます。
まあ、妥当な数字ですね、ＣがＡに挑むのは、まだちょっと早い、という感じですね。
仮に勝てば、レーティングがかなり上がりますよ。

で、
AがBに勝ち、かつ、AがCに勝つ　８／１５
BがAに勝ち、かつ、BがCに勝つ　２／９
CがAに勝ち、かつ、CがBに勝つ　１／１５
です。
なぜ足して１にならないか。

重大な思い違いをしているのです。

2/3*X+(1-X)*1/3+2/9＝1
も間違いです。

足して１になるのは、「考え得る全てのケースの確率」を足したときです（全事象）。
「Ａが優勝する確率は」
と書いていますけど、
まあもちろん前提としては、「勝つか負けるかが必ず決まり、引き分けはない」ということでしょうけど、
３すくみになった場合に現実のリーグ戦のように「得失点差」で優勝者を決めたり、
今回の問題の場合特別に「勝率」で優勝者を決めたりするかどうか、
がまだ定められていません。

つまり、
「誰も優勝しない確率」　を計算から漏らしている
ということです！
AがBに勝ち、BがCに勝ち、CがAに勝つ　４／４５
AがCに勝ち、BがAに勝ち、CがBに勝つ　４／４５
これも全て足して（互いに、同時に起こることはあり得ない）
初めて足して１になるのです。


AがCに勝つ確率が１をオーバーした一つの理由はですね、このような、
　　３者いずれも１勝１敗　という確率も、AがCに勝つ確率の中に足し込んでしまったから
ですよ。

この回答へのお礼

回答有難う御座います
私の書き方が悪かったのです
３人が同時に走った場合のことを聞いていたのです

投稿し終わった後で、計算できないことに気付きました

お礼日時：2014/06/17 15:33

No.2 回答者： quaestio 回答日時： 2014/06/15 08:14

> AがBに勝つ確率と、BがCに勝つ確率から、AがCに勝つ確率が計算できますか？

できません。

> Aが優勝する確率は、2/3*X
> Bが優勝する確率は、1/3*2/3=2/9
> Cが優勝する確率は、(1-X)*1/3

ここに、「AはBに勝ち、BはCに勝ち、CはAに勝つ確率」と「AはBに負け、BはCに負け、CはAに負ける確率」を加えてください。
Xが求められないことがわかります。

> Cが優勝する時、Aに勝っているのに、Bには1/3の確率でしか勝てないってのは変だし…

別におかしくはありません。
三すくみに状況になっているだけです。

この回答へのお礼

私の書き方が間違っていました
３人同時に走った場合のことを聞いていたのです
ですから、三すくみはありえません

投稿した後で、無理だとわかりました

お礼日時：2014/06/17 15:31

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/06/15 07:59

Aが勝つ確率は計算できますか？

＞出来ません。

この回答へのお礼

有難う御座いました

お礼日時：2014/06/17 15:30