0%と100%だけを仮定したベイズ推定は命題論理？

0%と100%だけを仮定したベイズ推定は命題論理と一致しますか？
しないとしたら、どこが違いますか？

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2014/07/05 04:13

　どこが違うかとのお尋ねですが、えーと、あのですね。

ベイズ推定の意味をちょっとでも思い起こせば、「0%と100%だけを仮定したベイズ推定」って概念は、明らかなナンセンスですから、質問として成立していない。もっと明確に伝わるように説明なさらないとね。
　でも、ま、旨く説明出来ないからこそ、こういうご質問になったのでしょう。

　そこでご質問の意図を憶測してみますと、ひょっとしてもしかして、ですが、「AというアトムをP(A)という確率に、また、(B⇒A)という論理式を条件付き確率P(A|B)に対応付けてみたらどうか」というようなお話でしょうか。たとえば
　P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A)
という等式を
　　((B⇒A) ∧ B) = ((A⇒B) ∧ A)
に似てると思え、とか？
　もし仮に、そういう議論をしたいと仰っているのなら：

　「0%と100%だけを仮定したベイズ推定」なんてへんてこなものを持ち出すより、むしろ、普通の確率と曖昧論理(fuzzy logic)との比較を考えるのが良いでしょう。
　曖昧論理ってのは、論理式Eの真偽値を二値に限定せず、真と偽の中間も許す論理です。「Eがどのぐらい真であるか」をたとえば0～1の実数値で表す。その値をV(E)と書く事にしましょう。
　最も普通に使われる曖昧論理では、
　　V(￢A) = 1 - V(A)
　　V(A∧B) = min(V(A), V(B))
とします。すると、
　　V(A∨B)
　　= V(￢(￢A ∧ ￢B))
　　= 1 - V(￢A ∧ ￢B)
　　= 1 - min(V(￢A), V(￢B))
　　= 1 - min(1-V(A), 1- V(B))
　　= 1 - (1 - max(V(A), V(B))
　　= max(V(A), V(B))
であり、
　　V(A⇒B)
　　= V(￢A ∨ B)
　　= max(V(￢A), V(B))
　　= max(1-V(A), V(B))
であり、
　　V((A⇒B)∧A)
　　= min(V(A⇒B), V(A))
　　= min(max(V(A),V(B), V(A))
　　= V(A)
ということになる。このようにして、それぞれの演算の意味が定まります。
　ここで重要なのは、「どのアトムaについてもV(a)が0（偽）か1（真）のどちらかの値しか取らない」という条件を付けると、曖昧論理は命題論理と完全に一致する、という事です。つまり、曖昧論理は、命題論理を（0か1の二値ではなく）0～1の間の曖昧な真偽値を取りうるように拡張したものになっているんです。
　この、0～1の値を取りうる、というところがナントナク確率に似てるでしょ？かくて、ご質問とは丁度逆のこと（確率を論理に似せる代わりに、論理を確率に似せる）をやった訳です。

　ですが、曖昧真偽値を確率と解釈することはできません。似てるのは「ナントナク似てる気がする」のレベルまでであって、きちんと比べてみるとまるで違うんです。その違いが現れる例をいろいろ作ってみることは、ご自分でやってお楽しみなされ。