アキレスと亀がなぜ不思議でないのか？

この問題については、何度も質問されていますが、ちょっと違った角度から是非質問させてください。
わたしには、アキレスと亀がものすごく不思議です。ですが、不思議だと思わない人のほうが圧倒的に多いことを、もっと不思議に思っています。

わたしたちは実際にはアキレスが亀を追い抜くことを知っていますから、そこを起点に考えるので、ゼノンのいうことには間違いがあるに違いない、というところから発想して、無限級数だのなんだのを持ち出して説明しようとします。
ですが、仮に、このように簡単な事実で検証できないような別の問題があったとして、このレベルの論法で説明されていたのだとすると、私にはそのおかしさを指摘することはぜったいできないです。私には完璧な論法に見えるので、自慢じゃないですが、はい、証明終わり、Q.E.D.とされても、納得してしまう自信があります！（笑）だから、そうした場合にも、みんなすぐにその論法はおかしいなんて指摘できる自信があるのでしょうか？ということをすごく疑いたくなります。逆に言うと、これまでに解決されてきた、数学の多くの証明において、こうした問題が潜んでいないということすら、私は納得してしまっていいのだろうか、とすら思います。

この、ゼノンの論法はどうしてもそんなにいい加減な論法には聞こえません。だから、なぜ多くの人が全然不思議と思わないのか、また、なぜ、多くの人が、自信を持って、ああそれはね、無限級数で云々と説明し始めることに抵抗を感じないのか、そこがまったくわかりません。

皆さんはどうお考えになるでしょうか？これはひょっとすると、数学の問題ではなくて、社会学とか、とかそういう分野の問題なのかもしれませんが、皆さんのお考えをお聞かせください。

No.11 回答者： Water_5 回答日時： 2014/07/06 14:57

＞これからも幸せな人生を送ってください。

幸せな人生を送るためには５０年をまず生きねばならない。
５０年生きるためには２５年間生きねばならない。

２５年間生きるためには１０年間生きねばならない。
１０年間生きるには５年間・・・・・。

ゼノンの論法はこれをツズケル。
つまり１分も生きられない事になる。

ゼノンの論法を論破しない限り貴方は不幸な人生で終わりを告げる。幸せな人生は送れないことになる。

それでよいのか。
（ゼノンの論法は美しく完成した論法だとほめてる場合では
おまへんで。）

この回答へのお礼

一生懸命ご説明いただき、ありがとうございました。

お礼日時：2014/07/06 15:18

No.12 回答者： stomachman 回答日時： 2014/07/06 15:24

　　0: アキレスよりも前方に亀がいて、アキレスから離れる方へ進んでゆく。

　　P: そこで改めて、アキレスが亀を追いかけ始める。追いかけ始めた時点で亀が
　　　居た地点にアキレスが到達したとき、亀はそれよりもさらに進んでいる。

このあとに、

　　A: だから、Pというプロセスを何度繰り返しても、アキレスが亀に追いついた
　　　瞬間以降には至らない。

と続くのならおかしくない。また、

　　B: だから、「P」という説明を繰り返し語っても、いつまで経ってもアキレスが
　　　亀に追いつく瞬間以降の話は始められない。

と続くのでもおかしくない。しかし、

　　X: だから、Pというプロセスを何度繰り返しても、いつまで経ってもアキレスは
　　　亀に追いつかない。

となるとおかしい。Aに比べてXは「プロセスを行う回数のことを、追いかけるのに掛かる時間のことにすり替えた」のであり、Bに比べてXは「語るのに掛かる時間のことを、追いかけるのに掛かる時間のことにすり替えた」。
　ところで、コンピュータ・プログラムの「正当性の理論」においては、繰り返し計算（loop）の「意味」を論理式で表す必要がある。その際に、
(1)「loopの中で常に成立っている命題(inductive assertion)」を見つける
(2) 「loopがいつか必ず終わる」という事を証明する
ということが必須です。これをPのループに当てはめてみると、(1)は「亀はアキレスより前方にいる」という命題です。で、(2)については、このループは終わらない。それがAの話です。

　さて、0, P, A, B, Xでは、アキレスと亀の速さについての知識は何も使っていない。なので、全く同じ事が、

　　0' : 亀よりも前方にアキレスがいて、亀から離れる方へ進んでゆく。
　　P' : そこで改めて、亀がアキレスを追いかけ始める。追いかけ始めた時点で
　　　アキレスが居た地点に亀が到達したとき、アキレスはそれよりもさらに進
　　　んでいる。
　　X' : だから、P'というプロセスを何度繰り返しても、いつまで経っても亀は
　　　アキレスに追いつかない。

というのであっても言える。X' も（「追いつかない」という結論はたまたま正しいけれども、そんな事はどうでもよくて）「だから、P'というプロセスを何度繰り返しても」ってところがおかしいわけです。
　ですから、いきなり「無限級数が…」と始まる説明は、ポイントを外していると言わざるを得ない。

　で、ご質問への回答ですけど：　Xのような結論を出して、それで正しいと思ってしまうチョンボは、ことに現実の問題をなんとか数学でねじ伏せようと苦労しているときにやらかす。経験は多々あります。旨いやり方を手探りしている段階では、直感に導かれて進むからです。で、「出来たぞ！」と思ってしまう。「出来たぞ！」と言いながら、「なんかもうひとつしっくり来ない」「トリッキー過ぎる」という感じが残っているのだけれど、でも検算してみると合ってる。出来てるじゃん。だったらオッケーじゃん。
　ですが、そのアイデアをきちんと形式的に書き出してみる。さらに証明を試みる。あるいは、ひとつの例にアイデアを適用して分析や計算をやってみる。時には数値計算すら実行してみる。するとスカタンであることが明らかになる。
　スカタンだと分かったら、どこがどうスカタンだったのか、なんて検討をのんびりやってられない場合が多いんですけれども、たまには「ぜったいぜったい計算間違いはしてません。正しいはずのに、なんか変なんですう～」と相談されたり、「うん、これで正しいんだから、さっそく製品にするぞー！」なんてことになったりしたときには、どうスカタンなのかを検討して説得しなくちゃいけません。するとしばしば（まさにアキレスと亀のような）無限分割の議論が入っていたり、空間を歪める変数変換が使われていたり、また、極限に関する誤り（酷いのだと、「0÷0は1だから…」とやらかしていた、なんての）もあるな。
　だから、ヤラカスことはしばしばある。そして、落ち着いてキチンと扱ってみると大概間違いが明らかになる。ですが、ご質問の仰る通り、非常に難しい分野になると、ヤラカシっぱなしになる恐れがあります。だからこそ、無限に関する議論は怖いんだということは身に染みている。なので、一分の隙もない証明を構成するために、ユークリッドの公理主義・ヒルベルトの形式主義が考案されて現代の数学が出来たんです。その厳密なやり方を使っても、なお、さまざまなパラドックス（明らかに直感に反する結論）が現れて来る。たとえばバナッハ・タルスキーの定理ですとか、非可測集合に関する多くの定理とか。その手のものは直感をあてにしていたのでは全くお手上げで、「病的」なんて呼ばれたりしますが、しかし、正しい証明が付いているのだから、数学的に言って正しい。そんな馬鹿なと徹底的に検討されているんだから、これほど正しいものはない、というぐらいに正しい。となると、「アキレスが亀を追い越すのは当たり前じゃんか」というところから出発する議論は（物理学ならともかく、数学的には）真っ当とは言えない。

　それはさておき、ゼノンのパラドックスは、身近な至る所に「無限」というアヤシイものが潜んでいる、ということを指摘した素晴らしい考察だと思う。 理論物理学では、時間や空間が無限に分割できるのかどうか、今も議論されていますしね。 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7421448.html はゼノンのパラドックスの確率バージョンです。

この回答へのお礼

丁寧なご回答ありがとうございました。
じっくり読ませていただきました。（ほんとうに）とても勉強になりました。なにより、まじめに、ちゃんと私の問題に向き合おうとしてくださったことが、ほんとうにうれしかったです。

とても得心がいきました。

おかげで、私なりに私がなぜこの問題を本当に不思議と思っていたのか、ちょっとはっきりできたように思うので、ほかの方への補足にそれを説明させていただきました。できましたら、＃１５の方への回答をご覧いただければ幸いです。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2014/07/07 00:38

No.13 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/07/06 15:47

　#9です。

>これを純粋に数学の問題と考えていらっしゃる時点で、なかなか意思疎通は難しいと思いますが、でもせっかく丁寧にお答えいただいたので、私なりにもう少しだけ補足します。

　数学部分だ、と断ってありますよね。最初の回答では、別に評価できる面もあるともお答えしています。しかしながら、数学カテで数学でないことを訊くなら、意思疎通以前の問題でしょうね。

>そもそも、ゼノンが使った議論は、亀のところまでアキレスがいく。それには必ず時間がかかる。時間がかかれば、亀は必ず当初の時点よりも前に進んでいる。

　その通りですよ。

>これだけです。ほとんど三段論法です。その繰り返しだけで、現実と矛盾してしまうから、パラドックスなんです。

　ゼノン当時では「するかどうか分からない」だったわけです。もうとうに現実と矛盾しない数学解があることは回答したと思いますが？

>亀をアキレスが追い抜くなんて誰だって知っています。そこを起点にしての議論なんです。

　ゼノン在世当時から、その通りです。

>だから、亀をアキレスが追い抜くことを数学的に証明したって、まさに追い抜くというごくあたりまえのことは証明できるかもしれないけれど、パラドックスがパラドックスでないことを証明したことなんかにはならないでしょ？

　証明になってますよ。ゼノンが生きて述べていた頃には、ゼノンの論法通りでいいのかどうかすら不明だったわけですが、ゼノンの論法通りでよい、しかも常識的な解法による答とも一致する。

　数学部分については、もうそこまで示されているわけです。ゼノンのパラドクスはパラドクスでも何でもない、数ある解法の一つであり、正しく解くことができる。そこまで示されているわけです。

>ゼノンの論法には、上述の三段論法の繰り返ししかでてこないんです。

　その通りです。無限回だったから、古代の数学では解けなかっただけです。

>証明すべきは、アキレスが亀に追いつくことではなく、ゼノンのパラドックスがパラドックでないことです。そしてそれは純粋な数学の問題ではないと私は思います。

　ゼノンが出した問題は直接的には数学です。そして少なくとも今の数学では解けています。ゼノンに他の意図もあったかもしれませんが、特にそのこといついて歴史的資料はありません。

>まあ、そもそも、私がした質問自体が、意味が全然違うんですが。

　先ほど申し上げたことは質問者様にはできない、ということですね？　きちんと問題化し、定式化するということです（二度目）。それができたら、適切なカテを選んで質問されるといいでしょう。

　曖昧な「感じ」「気がする」に、たいていは答はないものです。もしかすると、問題を作ること自体をご希望なのでしょうか？　それは遠慮しておきます。

この回答への補足

そもそも、質問自体はきちんと明確に問題化していますが、それはいまはおいておきます。

ところでほかの方々の回答を読んで、少し何を私が問題にしているかわかってきた気がします。私のこのパラドックスに対する疑問、というか、どこを不思議と思っているかというのは、以下のような点にある気がしてきました。

先ほど、ゼノンは三段論法しか使っていないと指摘しました。ここまではいいですよね。
そして、その話を繰り返しても、それはアキレスが亀に限りなく近づくところまでしか話ができない。それもいいですね。
で、問題は、アキレスが亀を追い越す段階なんですが、アキレスが亀を追い越す、そのことを言葉のロジックで説明するためには、（そうです数学ではなくて言葉のロジックです。まあ、論理学といってもいいのでその意味では数学ですが。）ゼノンが使った三段論法以外の論理、あるいは言葉を導入しなければどうしたって説明できない。そのように私には思える。だけど、ゼノンはそれ以外の言葉を導入することを認めていない。

だから私は、どうやってゼノンの理屈を乗り越えて、アキレスが亀を追い越すことが説明できるのか、その理由がわからない。（で、本当の質問というのは、その理由がわからないという気持ちを共有する人が、ほとんどいないのはなぜなのか、ということでした。でも今はそれはいいです）

こんな感じです。私はおかげでだいぶ自分の疑問がはっきりしてきたきがします。
これでもまだ意思疎通は難しいですかね。

補足日時：2014/07/06 23:47

この回答へのお礼

さらにもう少し頭が整理できました！！２回補足にかけないので、ここに書かせてください。

このパラドックスの根幹は、要するにこういうことと理解すべきとわたしは考えているのだと思います。

我々は我々の用いる（日常）言語の論理を信頼している。きちんと筋道たてて、論理をたてていけば、前提や仮説を受け入れる限り、正しい議論をすることができると思っている。しかしほんとうにそうなのか？たとえば、我々の言語は、「無限」の問題を、無矛盾にきちんと記述することができるのか？

ということです。だからつめていえば、ここでの問題の核心は、我々の（日常）言語という論理空間において、無限の問題を無矛盾に記述できるのか、ということです。（なおここでの無矛盾というのは、ゲーデルの場合のような、その論理空間の中での論理的無矛盾性ということではなく、現実との間の無矛盾性ということです。）

だから、その我々の（日常）言語（論理）というものを、数学という、無限を（昔は扱い得なかったが今は）扱いうる言語に無批判に翻訳してしまった時点で、既に論点先取であり、問題の核心を見落としている、そういわざるをえないと思います。我々の言語は無限を扱えるの？って聞かれてるのに、我々の言語が無限を扱える数学に翻訳できるとみなせると信じちゃえば、無限を扱えるよ！というのでは答えではないです。

もっといえば、ゲーデルが数学でやったようなところまで一般化する必要はないにせよ、やらなくてはいけないのは、我々の（日常）言語をその論理性において、一定の論理空間として定式化し、なおかつ、われわれの現実認識をその論理空間との対応関係において見定め、その上で、その中に「無限」という論理要素がどう位置づけられるのかを確認して、その「無限」を記述できる範囲と限界を明確化する、そうして初めて、この問題を解いたことになるのだと思います。ゼノンの三段論法（という日常言語）をその論理にそいつつ、なお乗り越えるとはそういうことです。


いかがでしょうか？やっぱりだめですかね。

お礼日時：2014/07/07 04:11

No.14 回答者： Water_5 回答日時： 2014/07/06 18:04

ゼノンの逆説を習い始めの頃、スレ主同様

アキレスは亀を追い抜けないと思い、試験にでも出たら
どうしようと困った思いをした経緯があります。

無限について知識がなかったその当時、これだけの
論説を張ったゼノンはたいした学者だと言えます。

とこれだけスレ主へゴマすっておけば、ベストアンサー
間違いナシだな。ほほほ。

この回答へのお礼

ベストアンサー！！

でいいですか？

お礼日時：2014/07/06 23:22

No.15 回答者： redgarbera 回答日時： 2014/07/06 18:20

No.7です。

お礼をいただいたのでちょっとだけつけたします。

まず、あなたの質問の趣旨は「なぜ多くの人はゼノンのパラドックスを不思議だと思わないのか」ということでしたので、その趣旨に従って私もお答えした次第です。
ただ、その趣旨を超えた回答を寄せている方も多く(難しくて私にはほとんどわかりませんでしたが)、またあなた自身も「これは完璧なパラドックスなのに、矛盾なく説明できるという考えに納得がいかない」というようなことを補足やお礼でお書きになっているので今度はそれに対する反論が来る、というちょっとややこしい事態になっているようですね。

ここでひとつだけ私の考えを書かせていただくと、このゼノンのパラドックスというのは「錯覚」「勘違い」のようなものだと思います。
例えば10分でアキレスが亀に追いつくとして、それを5分後、7.5分後、8.75分後、と刻んでいけば(つまり残り時間の半分を加えていくという作業を繰り返していけば)当たり前ですがこれはいくらやっても10分にはなりません。加えれば10になる数の半分しか加えないのですから当然ですね。もしあなたがこの計算を「10秒になるまで続けよう」と決意して１秒に１回ずつやったとしても永遠に終わりませんよね。
つまり、終わらないのは亀とアキレスの追いかけっこではなく計算の作業の方なのです。
けれどもこの計算をしている間ずっと(つまり永遠に)あなたの頭の中には亀を追いかけて走っているアキレスが浮かんでいるわけです。つまり、この計算をすると「アキレスが走っている姿を永遠に思い浮かべ続けなくてはならない」のですが、それが「アキレスが永遠に走っていなければならない」と勘違いされてしまうのだ、というのが私の考えです。

というわけで「永遠に続くのは計算の作業の方でしょ。追いつく前のことしか考えてないんだから、頭の中では追いつく場面が出てこないのは当たり前だよね」というのが私の結論です。

あまりお役に立てる投稿ではなさそうですね。長文失礼致しました。

この回答への補足

ありがとうございます。
でもおかげで、いろいろな回答を伺って、私が何を不思議と思ってるのかがちょっとはっきりしてきた気がします。
こんな感じです。

ゼノンは、「亀のところまでアキレスがいく。それには必ず時間がかかる。時間がかかれば、亀は必ず当初の時点よりも前に進んでいる。」という三段論法しか使っていない。
そして、その話を繰り返しても、それはアキレスが亀に限りなく近づくところまでしか話ができない。
で、問題は、アキレスが亀を追い越す段階なんですが、アキレスが亀を追い越す、そのことを言葉のロジックで説明するためには、ゼノンが使った三段論法以外の論理、あるいは言葉を導入しなければどうしたって説明できない。そのように私には思える。だけど、ゼノンはそれ以外の言葉を導入することを認めていない。

だから私は、どうやってゼノンの理屈を乗り越えて、アキレスが亀を追い越すことが説明できるのか、その理由がわからない。ということのようです。私にはその一歩を踏み出す言葉がないんです。

おかげで少しだけ頭がすっきりしました。
ありがとうございます。

補足日時：2014/07/07 00:32

No.16 回答者： Water_5 回答日時： 2014/07/06 22:54

　1

ーー＝０は成り立たない。
∞

しかし、lim　1/x＝０は成り立つ。
　　　ｘ－－>∞

こんな感じの式が２，３あって、（無限級数の和とか。）
これらがキチント理解してナイト、スレ主のような
わかったようでワカラナイ人間が出てくるな。どうしても。

No.17 回答者： myuki1232 回答日時： 2014/07/07 00:21

ご質問にちゃんと回答してみましょう。

アキレスと亀の議論について、人がどういう理解をしているかを以下のように表すと、
1:問題に興味がない・理解できない
2:パラドックスが理解できるが、解消する方法がわからない（質問者さんの状態）
3:パラドックスが理解でき、解消する方法もわかる
当てずっぽうですが、1 : 2 : 3 = 90 : 0.1 : 9.9 くらいの割合なのではないでしょうか。

なぜこんなに 2 の人が少ないのか、という質問だと思いますが、私はこう考えます。
- １ の人が ２ に移動することが少ない（ほとんどの人は数学に関心が無い）
- 一時的に 2 になっても、すぐ ３ に移動してしまう（比較的簡単な問題だから）

質問者さんが納得できないといっているのはどの部分でしょうか？
- ほとんどの人はこの問題に関心がない・理解できないという事実
- ゼノンのパラドックスは、この問題に関心がある人にとっては簡単な問題であるという事実

この回答への補足

ありがとうございます。
いろいろな方の回答を伺って、自分にとって何がこのパラドックスで引っかかっているのかということについて、自分で少し説明ができるような気がしてきました。＃１５の方に対する私の補足をできましたらご覧ください。
これをいただいた回答との関連でいうと、
1. ゼノンはこんな簡単な理屈しか使っていないのに、（関心がないのはおいといて）理解できない人が多いということが、わたしには理解できない。

3. 私も自慢じゃないですが、それほど馬鹿とも思っていないのに、この疑問を簡単に解決できるという人が多いことが、私には理解できない。

ということです。

補足日時：2014/07/07 00:45

No.18 回答者： Dio_Genes 回答日時： 2014/07/07 05:09

　#13です。

>そもそも、質問自体はきちんと明確に問題化していますが、それはいまはおいておきます。

　できていないですよ。数学で「不思議」と仰っている時点で、実は駄目なものなんです。他の回答者様の皆さんもですが、そこを何とか回答者側で汲み取り、問題化、定式化して回答しています。

>ところでほかの方々の回答を読んで、少し何を私が問題にしているかわかってきた気がします。

　やはり「気がする」止まりなのですよね。

>私のこのパラドックスに対する疑問、というか、どこを不思議と思っているかというのは、以下のような点にある気がしてきました。

　そして「というか」「不思議」というレヴェルを脱せない。

>先ほど、ゼノンは三段論法しか使っていないと指摘しました。ここまではいいですよね。

　既に、それでいいよ、と回答してますよね。

>そして、その話を繰り返しても、それはアキレスが亀に限りなく近づくところまでしか話ができない。それもいいですね。

　いいという言い方もできるし、駄目だという言い方もできる。数式はそのようになってるんですよ。説明したと思うんですけどね。

>で、問題は、アキレスが亀を追い越す段階なんですが、アキレスが亀を追い越す、そのことを言葉のロジックで説明するためには、（そうです数学ではなくて言葉のロジックです。まあ、論理学といってもいいのでその意味では数学ですが。）ゼノンが使った三段論法以外の論理、あるいは言葉を導入しなければどうしたって説明できない。そのように私には思える。だけど、ゼノンはそれ以外の言葉を導入することを認めていない。

　ですからね、それは数式で書ける、ということなんですよ。数式で書けて、しかも厳密に解ける。そう説明したと思うんですけどね。

>だから私は、どうやってゼノンの理屈を乗り越えて、アキレスが亀を追い越すことが説明できるのか、その理由がわからない。（で、本当の質問というのは、その理由がわからないという気持ちを共有する人が、ほとんどいないのはなぜなのか、ということでした。でも今はそれはいいです）

　そうなんでしょうね。数学で記述できるということが理解できないなら、数学部分が根幹であり、数学で解決できるということも分からないでしょう。

>こんな感じです。私はおかげでだいぶ自分の疑問がはっきりしてきたきがします。

　まあ、「気のせい」でしょう。

>これでもまだ意思疎通は難しいですかね。

　こちらかはよく見えていますよ。ご自身しか見えない迷路の中で行きつ戻りつされている様子が、ですね。

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>このパラドックスの根幹は、要するにこういうことと理解すべきとわたしは考えているのだと思います。

　ご自身の考えですら、ご自身で理解するのが曖昧模糊としているんですね、分かります。

>我々は我々の用いる（日常）言語の論理を信頼している。きちんと筋道たてて、論理をたてていけば、前提や仮説を受け入れる限り、正しい議論をすることができると思っている。しかしほんとうにそうなのか？たとえば、我々の言語は、「無限」の問題を、無矛盾にきちんと記述することができるのか？

　そのために数学が発明され、発展し、使っているんですよ。1+1＝2が正しいとするために、千ページ以上使って数学を記述してみたりもしてきた（さらには、その程度ではまだ甘い、と批判する人もいたりする）。それでも、無限が無矛盾に扱えているかどうか、目下のところ、誰も確実には言えないだろうと思いますね。

>ということです。だからつめていえば、ここでの問題の核心は、我々の（日常）言語という論理空間において、無限の問題を無矛盾に記述できるのか、ということです。（なおここでの無矛盾というのは、ゲーデルの場合のような、その論理空間の中での論理的無矛盾性ということではなく、現実との間の無矛盾性ということです。）

　日常は論理空間なんですかね。論理空間の定義次第とはいえ、そうとは思いませんが、まあ個々人の受け取り方は自由です。あなたの論理空間の定義は何ですか？

　で、何度も既述してあるように、ごくごく初等的な問題でしかありません、アキレスと亀はね。もちろん、無矛盾かどうかなんて議論にすらならないレベルです。1+1＝2が（たとい、実はそれでいいことを論じるのに膨大な量が必要であるにしても）当たり前と、さほど変わらないレヴェルのことなんですよ。

>だから、その我々の（日常）言語（論理）というものを、数学という、無限を（昔は扱い得なかったが今は）扱いうる言語に無批判に翻訳してしまった時点で、既に論点先取であり、問題の核心を見落としている、そういわざるをえないと思います。

　もう解かれていると知った人は、得てしてそういう反応をするんですよね。うんざりするほど経験したことです。

>我々の言語は無限を扱えるの？って聞かれてるのに、我々の言語が無限を扱える数学に翻訳できるとみなせると信じちゃえば、無限を扱えるよ！というのでは答えではないです。

　数学は言語なんですよ。知らなかったんですか？　算数くらいは部分的にでも使いますよね。使ってて言語だと分からなかったんですか？

>もっといえば、ゲーデルが数学でやったようなところまで一般化する必要はないにせよ、やらなくてはいけないのは、我々の（日常）言語をその論理性において、一定の論理空間として定式化し、なおかつ、われわれの現実認識をその論理空間との対応関係において見定め、その上で、その中に「無限」という論理要素がどう位置づけられるのかを確認して、その「無限」を記述できる範囲と限界を明確化する、そうして初めて、この問題を解いたことになるのだと思います。ゼノンの三段論法（という日常言語）をその論理にそいつつ、なお乗り越えるとはそういうことです。

　延々とご苦労様です。数学という言語で、もうそうしてあるんですよ。そういう簡単な話です。

P.S.

　例えばアキレスと亀の簡単なバージョン、教えて差し上げましたよね。単に100m先まで歩いて行くときに、半分、また半分と分割する。あれはね、アキレスと亀と何ら変わらないんですよ。そしてある意味、ゼノンのパラドクスの他のある一つに対する説明の一部にもなっている。

　ご自身の疑問を収束させていくこともできておられないし、周辺の類例との関連性にも気が付けない。そういう状態であることを、まず理解されたほうがいいでしょうね、文章を衒学的に飾る前に。

この回答への補足

残念ですね。
まあ、あなたの元々の書き方からして、こうなる可能性が高いと思ってましたけどね。

あなたが私の知的次元が低いと思ってるのと同様、わたしもあなたの知的水準を疑ってるので、まあおあいこにしときましょう。いいたいことはいろいろありますが、まあ、お互い、もうレベルの低いとおもってる相手に話をしても仕方ないでしょ？
（ほんとはあなたの方が一方的に礼節を欠いているので、その次元からしてほんとは私の勝ちですけど、まあ譲っときますよ。（笑））

補足日時：2014/07/07 08:54

No.19 回答者： stomachman 回答日時： 2014/07/07 06:00

　ANo.12へのコメント、および示唆された他の回答へのコメントについてです。

　コメントの中で

> 私にはその一歩を踏み出す言葉がない

と仰っている。その点について追記しておきます。

　ANo.12でプログラムの話をしました。「アキレスと亀」の話は、アキレスが最初に居た地点を0、亀が最初に居た地点をT、アキレスの速さをV、亀の速さをv、とすれば、アキレスの位置aを

0: a[0] = 0, a[1]=T
P: a[n] = a[n-1]+(v/V)(a[n-1]-a[n-2])

という漸化式を使って計算していることになります。この2行目の式はn=2,3,…について繰り返し計算するんです。
　アキレスが亀に追いつく地点をxとすると、繰り返しの中では常に「a[n]はxより小さい」というinductive assertionが成立っています。そして、このループは終わりません。これが

A: このプロセスPを幾ら繰り返してもアキレスは地点xには到達できない。

ということです。そして、上記の漸化式はxを計算するプロセスになっています。
　ただ、この問題の場合には、xを有限回の四則演算で
　　x = TV/(V-v)
と表すこともでき、だから、漸化式を使わなくたってxは計算できる。ですが、敢えて漸化式を使っても良いでしょ？
　そうは言っても、さて、「終わらない繰り返し」を使うってどういうことか。

～～～～～～

　一方、漸化式
　　s[0] = 1
　　s[n] = s[n-1] + 1/n!
を考えます。このループも終わりません。ですから「アキレスと亀」の漸化式と状況は同じです。（ご質問の話が無限級数だけで片づくと主張する人なら「その漸化式の極限は、自然対数の底であるeだと分かってるじゃないか！」とあざ笑うのでなくては、態度が首尾一貫しているとは言えませんね。けれども、「だーから、eの数値は実際幾らなの？」という話をしているんですから、「それはeだ」ほど間抜けな答もないってもんです。）
　さらにこの場合には、（eは超越数なので）eの値を有限回の四則演算で計算する方法は存在しない。すなわち、「終わらない繰り返し」を使うしか計算方法がないんです。eの値の計算に限らず、一般に、有限回の四則演算では表せないような数値の計算（たとえば平方根も三角関数も）は結局の所、このような漸化式、すなわち「終わらない繰り返し」を使って計算されます。だから、ちっとも珍しい話ではありません。
　さて、「終わらない繰り返し」を使うってどういうことか。

　それには、「ある程度の精度が得られたら、そこで繰り返しを打ち切る」ということをやるんです。有限回で打ち切って、次のプロセスに進む。単にそれだけです。

　アキレスと亀の漸化式でも、たとえば「アキレスのつま先が亀の頭より後れること10cm以内に到達したら、そこで繰り返しを打ち切る」ということをやれば、有限回で打ち切れる。かくて、アキレスはPの反復という呪縛から逃れて、次のプロセスに進む事ができます。そのプロセスとは、もちろん、

Q : そこで、アキレスはさらに一歩を踏み出す。

ということですね。a[N]で打ち切ったとすると、これで

Q : アキレスの位置 = a[N]+(アキレスの歩幅) > x

になった。追い越し完了です。


　という訳で、

> 私にはその一歩を踏み出す言葉がない

と仰っているけれども、いやいや、まさしくそのひと言、「一歩を踏み出す」で十分なんです。

この回答への補足

ありがとうございます。

真剣に読ませていただいて、表面的にはおっしゃることは理解したつもりです。ですが、「一歩を踏み出すで十分」というのはまだちょっと理解できないです。。。。だって、それ禁じ手なんじゃ。。。。（理解が浅くてすみません。。。）

ともかく、いろいろな方のご指摘をふまえて、暫定的ではありますが、私の問題理解をさらにもう少し進展させたものを、#13のかたの（補足の方ではなく）お礼の方の欄に、まとめさせていただきました。できましたらご覧いただくと幸いです。
こういう理解は、おかしいでしょうか？（ちょっと、行きがかり上、言葉が少し強い調子なところがありますがご容赦ください）
私も数学をよく知っている訳ではないので、数学という言語と日常言語の翻訳関係について、どこまで話が整理されているのかはまったく知らないんですが、もともとは、数学というのは、（ゲーテルがある意味残念なことを証明してしまったとはいえ）いろいろな公理系から無矛盾を目指していろいろな体系を組もうとしてきたものなので、その過程で、現実あるいは日常言語との対応関係の十全な確保をある程度放棄してきたものではないのではないかと予想しています。

こうした考えをいろいろ巡らせて改めて思うのは、元々の質問させていただいたように、こうしたことを何ら疑問なく解けると思う人の方が圧倒的に多いというのは、はやり納得がいかないというか、健全な状況ではない、という印象が強いです。

ぜひ、stomachmanさんにアドバイスをいただきたいです。

補足日時：2014/07/07 09:37

No.20 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/07 08:57

もうお分かりだとは思いますが

アキレスと力メの話はは特定の時刻以降、特定の位置以降
は対象外です。

つまり追い付くまでは追いつかない
というあたり前の話を少しまわりくどくいっているに
すぎません。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2014/07/08 00:23