高校数学の球の問題の別解について　3-18

Question

一辺の長さが1の正四面体の内部にたがいに外接する2つの球P,Qがある、球Pは正四面体の4面全部に接し、球Qは正四面体の3面に接しているものとする

(1)球Pの半径を求めよ
(2)球Qの半径を求めよ

解説は正四面体をOABCとおき、Oから平面ABCに下ろした垂線の足をH,正四面体の1つの面の面積をS,体積をVとする　また、球Pの中心をPとおくと4つの四面体POAB,POBC,POCA,PABCが明らかに

合同であり、球Pの半径をpとおくとV=(1/3×S×p)×4=S/3×OH したがってp=OH/4=1/4×√6/3
=√6/12

(2)球Qの中心QはOH上にあるとしてよく、球P,Qの接点を通ってOHに垂直な平面で正四面体をきると図のようになり、このときできるQを含む四面体はOABCと相似である

したがって球Qの半径をqとおくと　OH:(OH-2p)=p:q　これを解いてq=√6/24

となっていたのですが(1)の球Pの中心をPとおくと4つの四面体POAB,POBC,POCA,PABCが明らかに

合同とありますが、球Pの位置が分からないので、この四面体は合同になるか分からないのではないですか？
(2)は球Qの中心はOH上にしてよいとありますが、何故そんな事が分かるのですか？

Qを含む四面体はOABCと相似というのも何故相似だと言えるのですか？相似が言えた後の式

OH:(OH-2p)=p:qもどこの辺の比から成り立っているのですか？

akinomyoga · Accepted Answer

★提案
>>「まあそうだわなぁ」
>皆さんが当たり前の事や「まあそうだわなぁ」と思うことだとは思うのですが、

「感覚的には理解できるけれど、感覚に頼らない厳密な証明が欲しい」という事ですよね。それならば、質問の仕方を変えた方が良いのではないかと思います。

"○○かどうか分からないのではないですか" という質問の仕方だと「感覚的に受け入れられない」と言っている様に見えますので、〈どうしたら「感覚的に」理解できるのか〉について説明しようとする回答が集まります。そして、それに対して満足しないと「こんな事も感覚的に認められないなんてあなたの感覚はおかしいのではないか」という苛立ち(?)の見え隠れする返答がついてしまいます。

提案なのですが、例えば、今後他の質問で「感覚的には分からないこともないが証明が欲しい」場合は "○○であると感覚的には思いますが、感覚に頼らずに示す方法に興味があります" などと質問する様にしてはどうでしょうか。ちなみに、問題の解説にそこまで詳しく載っていない場合、「高校数学の範囲ではその辺りは感覚で誤魔化しても良い」という事を意味するので、実際の試験などではそこまで厳密に記述する必要はありません。勿論、「本当の幾何学」では、公理系と定義だけから全て厳密に証明してしまう訳ですが、それは何年もかけて数学書を書き上げる一大作業になりますので、高校の限られた時間で解かせる試験で要求する訳には行きません。

そういう意味で、これから述べる説明も厳密な証明とは言えませんが、可能な限り論理的に説明をしようと思います。(本当に厳密な証明をしようと思ったら、「球の定義」「正四面体の定義」「球と平面が接する事の定義」「垂線の定義」「合同の定義」などなどを駆使して証明していかなければならず、更に既に知られている定理などを何処まで使って良いのかも定かではないので、高校の教科書で言及されていない物(例えば、補助線を引いても良い事(?)とか、垂線を一意に降ろせる事(?)だとか、きりがない)も念のため全て示していく事にすると気が遠くなりまので。本当に分厚い数学書ができてしまいます。それに何より、私はその様な厳密な議論の仕方は知りません。)

★証明

まず記号を明確にしておきます: ⊿ は直角三角形。∟ は直角(∟ = π/2 = 90°)。「甲≡乙」 は「甲と乙が合同である」という事。「甲∥乙」は「甲と乙が平行である」という事。「甲⊂乙」は「甲は乙に含まれる」という事。

(a) また、ユークリッド幾何の公理として「(簡単に噛み砕けば) 同じ方法で作図できる物は同じ(or合同)」という物があるので、作図するのに充分な情報が揃った時点で、作図方法が同じ複数の物があればそれらを同じとする。相似形に対して同様の(相似な)作図をして得られる複数の図形の場合も、互いに相似形とする。
(H) 点Oから面ABCに降ろした垂線の足を 点H とする。
(Q) 球Qの中心を点Qとする。
(b) 点Pから面OBC, 面OCA, 面OAB, 面ABC にそれぞれ垂線を降ろし、それぞれの足を点H[A], 点H[B], 点H[C}, 点H[O] とする。

今点Oの周りにある⊿OPH[A], ⊿OPH[B], ⊿OPH[C] に注目する。
(1) これら3つの直角三角形は OP を共有する,
(2) PH[A] = PH[B] = PH[C] = PH[O]　(∵何れも球Pの半径),
(3) (b) より ∠PH[A]O = ∠PH[B]O = ∠PH[C]O = ∟
(4) (1-3) より ⊿OPH[A] ≡ ⊿OPH[B] ≡ ⊿OPH[C] である。
(5) (4) より OH[A] = OH[B] = OH[C].
(6) (5) と同様にして (別の頂点A, B, Cについてもその周りの3つの直角三角形を考えて、)
　AH[B} = AH[C] = BH[O], BH[C} = BH[A] = BH[O], CH[A} = CH[B] = BH[O].
(7) (5-6) より OH[A] = OH[C], BH[A] = BH[C].
(8) 正四面体OABCより △OBC ≡ △OBA.
(9) (7-8, a) より △OBC, △OBA に H[A], H[C] を加えても同じ: 四角形OBCH[A] ≡ 四角形OBAH[C].
(10) (9) より CH[A] = AH[C].
(11) (6) より CH[A] = CH[O], AH[C] = AH[O]
(12) (10-11) より CH[O] = AH[O].
(13) ⊿OHC と ⊿OHA は辺 OH を共有する.
(14) (H) より ∠OHC = ∠OHA = ∟.
(15) OC = OA (∵正四面体の辺)
(16) (13-15) より ⊿OHC ≡ ⊿OHA.
(17) (16) より CH =AH.
(18) (12, 17, a) より点H[O] は点H と同じ点。
(19) (b, 18) より ∠PHC = ∠PHA = ∟.
(20) (14, 19, a) より直線PH = 直線OH.
(21) (20) より P は直線OH上にある★
(22) (12) と同様に BH = AH が示せるので、AH[O] = BH[O] = CH[O].
(23) (22) と同様に OH[A] = CH[A] = BH[A].
(24) (b) より ∠AH[O]P = ∠OH[A}P = ∟.
(25) (22, 23, 24, 2, a) より 四面体PABC ≡ 四面体POBC.
(26) (25) と同様にして 四面体PABC ≡ 四面体POCA, 四面体PABC ≡ 四面体POAB.
(27) (25, 26) より 四面体PABC ≡ 四面体POAB ≡ 四面体POBC ≡ 四面体POCA■

(c) 平面P1として、OHに垂直で球Qに接する物を定義する。特に平面OAB, 平面OBC, 平面OCA, 平面P1 で球Qが囲まれる様にする。(※この時点では、解説に登場する〈球P,Qの接点を通ってOHに垂直な平面〉と平面P1が同じかどうかは分かりません。これから示します)
(d) 平面P1と直線OA, 直線OB, 直線OC の交点をそれぞれ A', B', C' とする。また、直線OH と 平面P1 の交点を 点H' とする。

(28) (c, H) より OH⊥平面P1, OH⊥平面ABC なので、平面P1∥平面ABC.
(29) (28) より 平面P1∥平面ABC は交わらないので、それぞれの平面内部の直線A'B', 直線AB も交わらない。
(30) 直線AB ⊂ 平面OAB.
(31) (d) より A' ⊂ OA ⊂ 平面OAB, B' ⊂ OB ⊂ 平面OAB, よって直線A'B' ⊂ 平面OAB
(32) (29-31) より、平面OAB上で考えれば、交わらない2直線は平行である: 直線A'B'∥直線AB.
(33) (32) より △OA'B' ∽ △OAB なので △OA'B' は正三角形である。
(34) (33) より OA' = OB' = A'B'.
(35) (34) と同様にして、OB' = OC' = B'C', OC' = OA' = C'A'.
(36) (34, 35) より OA' = OB' = OC' = A'B' = B'C' = C'A' なので、四面体OA'B'C' は正四面体である。
(37) (36) から、正四面体OABCの4面に球Pが内接したのと同様に、四面体OA'B'C'の4面に球Qが内接している。
(38) (37) より (21) と同様にして、点Qが直線OH'上にある.
(39) (d) より 点H' は 直線OH 上の点であるので、直線OH' = 直線OH である。
(40) (d, 21, 38, 39) より点P, 点H', 点Q は全て直線OH上にある■。
(41) 特に球P と球Q が外接する事と、点H' が球Q表面の点である事と、(40) より点H'は球Pと球Qの接点である。
(42) (41) より平面P1と解説文の〈球P,Qの接点を通ってOHに垂直な平面〉は同一である。
(43) (42, 36) より (解説文の球Qに外接する四面体) = 四面体OA'B'C' ∽ 正四面体OABC■。

(44) (21) と同様に点Pは点Aから△OBCに降ろした垂線AH[A]の上にある。
(46) (21, 44) より、正四面体OABCを元にして (Aから降ろした垂線AH[A])と(Oから降ろした垂線OH) の交点として点Pが求められる。
(47) (46) と同様にして点Qも正四面体OA'B'C'から求められる。
(48) (43, d, H, 47, a) より OABCHQ ∽ OA'B'C'H'Q.　(※OABCHQ は特に多面体などと考えなくて良い。単に点の集合と思って欲しい).
(49) (48) より OH : OH' = PH : QH' = p : q.
(50) OH = OH' + H'P + PH = OH' + 2p より OH' = OH - 2p.
(51) (49, 51) より OH: (OH'-2p) = p:q■.
(52) (44) より点Pは正四面体OABCの垂心に一致する■。

akinomyoga · Answer

> No4の(6)のAH[B} = AH[C] = BH[O], BH[C} = BH[A] = BH[O], CH[A} = CH[B] = BH[O]ですがAH[B} = AH[C] = AH[O]
> CH[A} = CH[B] = CH[O]ではないですか？

その通りです。書き間違いです。
.
> (9)が良く分かりません四角形OBCH[A] ≡ 四角形OBAH[C]は何故言えるのですか？H[A], H[C] は△OBC,△OABから見て同じ位置にあるという事だと思いますが、これはどこから言えるのですか？

--抜粋--
(7) (5-6) より OH[A] = OH[C], BH[A] = BH[C].
(8) 正四面体OABCより △OBC ≡ △OBA.
(9) (7-8, a) より △OBC, △OBA に H[A], H[C] を加えても同じ: 四角形OBCH[A] ≡ 四角形OBAH[C].
-----
平面OBC上で △OBC がある状態から OH[A] と BH[A] の長さを使って△OBC内部に H[A] を作図できます。
同様に、平面OBA上で △OBA がある状態から OH[C] と BH[C] の長さを使って△OBA内部に H[C] を作図できます。
ここで (8) △OBC ≡ △OBA, (7) OH[A] = OH[C], BH[A] = BH[C] なので、(a) を考えれば作図によって新しくできる図形である四角形も合同になります。

もっと下の方でも (a) を同じように使っていきます。(a) が出てきたら上記の様な感じに、何処か平面を選んで作図する事を想像してみて下さい。

akinomyoga · Answer

> 分かりした、有難うございます、これを参考に又NO4を見直してみます

No.4 に関して分からない事があれば補足はこちらにどうぞ。

akinomyoga · Answer

> 作図の手順が同じだったら同じ図形として考えられるってどういう事ですか？
例えば次のような事です。

-----
(1) 同じ(一致)
ある線分ABがあったとします。
そこに CA=x[cm], CB=y[cm] となる様な点Cを作図で求めたとします。
同様に DA=x[cm], DB=y[cm] となる様な点Dを作図で求めると、点Cと点Dは同じ点になるという事です。

(2) 合同
同じ長さの線分AB と線分XYがあったとします。
そこに CA=x[cm], CB=y[cm] となる様な点Cを作図で求めて△ABCを作る事ができます。
同様に ZX=x[cm], ZY=y[cm] となる様な点Zを作図で求めて△XYZを作った時に、△ABC≡△XYZという事です。

(3) 相似
ある線分ABとその半分の長さの線分PQ (PQ=AB/2)があるとします。
そこに CA=x[cm], CB=y[cm] となる様な点Cを作図で求めて△ABCを作る事ができます。
さらに RP=x/2[cm], RQ=y/2[cm] となる様な点Rを作図で求めて△PQRを作った時に、△ABC∽△PQRという事です。

(1)と(2) は公理から殆ど直接導かれますし、(3)も示せるはずです。ユークリッド幾何の公理を御覧下さい:
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E5%8E%9F%E8%AB%96#.E5.AE.9A.E7.BE.A9.E3.83.BB.E5.85.AC.E6.BA.96.E3.83.BB.E5.85.AC.E7.90.86
-----

その他の作図手順の場合も、作図によって(一意に)図形を作る事が出来るならば、「同じように作図すれば同じ結果になる」と言えます。

akinomyoga · Answer

No.4訂正

(48) (43, d, H, 47, a) より OABCHQ ∽ OA'B'C'H'Q.
ではなく
(48) (43, d, H, 47, a) より OABCHP ∽ OA'B'C'H'Q.

(※他にも書き間違いが色々あると思いますが、そこは察して下さい。御自分で修正できてそれで納得できた点については、一々指摘する必要はありません。)

Tacosan · Answer

「あたりまえ」ではあるけどなんか変. 「4つの四面体が合同」という条件は (2) でいえば十分であって, (1) でわざわざ言及する必要はない. ただしもとの四面体をあっちこっちからためつすがめつ眺めれば「まあそうだわなぁ」と思えるはず.

f272 · Answer

どれもこれも当たり前のことだと思うぞ。
「球Pの位置が分からない」なんてことはないだろう。球Pは正四面体の4面全部に接するんだから，正四面体のど真ん中にあるに決まっています。中心になくて偏った位置にあるのなら正四面体の4面全部に接することはできません。

> 球Qの中心はOH上にしてよいとありますが、何故そんな事が分かるのですか？

分かるんじゃなくて，OH上ににあるとしてよいと書いてある。球Qは正四面体の3面と球Pに接しているのだから，正四面体のどれかの頂点の方向に偏った位置にあるのだけれど，その方向にある頂点をOだと思っても一般性を失わないと言うことです。（頂点の名前を付け替えればよい。）

> Qを含む四面体はOABCと相似というのも何故相似だと言えるのですか？

OHに垂直な平面で正四面体をきるんでしょ。言い換えると三角形ABCと平行な面できると言うことです。そうしたら当然，相似ですね。

> 相似が言えた後の式OH:(OH-2p)=p:qもどこの辺の比から成り立っているのですか？

直線OH上で考えると，正四面体の高さはそれぞれOHと(OH-2p)です。
そして正四面体の相似と同じ比率で，球Pと球Qも相似です（相似比は半径の比に等しい）から，OH:(OH-2p)=p:qが成り立つのです。

yyssaa · Answer

この四面体は合同になるか分からないのではないですか？
＞球Pは正四面体の4面全部に接しているのだから点Pは正四面体の各面から等距離にあり、正四面体の各頂点から
下ろした4本の垂線の交点と一致するので、4個の四面体は合同になる。
(2)は球Qの中心はOH上にしてよいとありますが、何故そんな事が分かるのですか？
＞球Qは正四面体の3面に接しているのだから3面の各面から等距離にあり、球Qの中心はOH上にある
Qを含む四面体はOABCと相似というのも何故相似だと言えるのですか？
＞2球の接平面は平面ABCと平行だから、両四面体は明らかに相似である。
相似が言えた後の式
OH:(OH-2p)=p:qもどこの辺の比から成り立っているのですか？
＞OH:(OH-2p)は両正四面体の高さの比であり、p=OH/4から分かる通り内接球の半径は内接する正四面体の高さに
比例するので、=p:qとなる。

高校数学の球の問題の別解について 3-18

★提案

この回答への補足

> No4の(6)のAH[B} = AH[C] = BH[O], BH[C} = BH[A] = BH[O], CH[A} = CH[B] = BH[O]ですがAH[B} = AH[C] = AH[O]

この回答への補足

> 分かりした、有難うございます、これを参考に又NO4を見直してみます

この回答への補足

> 作図の手順が同じだったら同じ図形として考えられるってどういう事ですか？

この回答への補足

No.4訂正

この回答への補足

「あたりまえ」ではあるけどなんか変. 「4つの四面体が合同」という条件は (2) でいえば十分であって, (1) でわざわざ言及す

この回答への補足

どれもこれも当たり前のことだと思うぞ。

この回答への補足

この四面体は合同になるか分からないのではないですか？

この回答への補足

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