No.2ベストアンサー
- 回答日時:
順々に説明してみます.
まず積分の線形性を利用します.
積分の線形性:∫(f+g)dx=∫fdx+∫gdx
∫π/2~0(1-cos4θ)dθ=∫0 toπ/2 1 dθ -∫cos 4θ dθ (普通は1は書きませんで∫dθとします.)
右辺の第1項を(1),第2項を(2)とします.
(1)の積分をするには定数の積分を利用します.
定数の積分:∫cdx=cx+C
∴ (1)=[θ]0 to π/2
(2)を積分はご指摘通りです.
三角関数の積分:∫sin x dx=-cos x +C ,∫cos x dx=sin x+C ,∫tan x dx=-log|cos x|+C
また置換積分も用います.
置換積分:∫f(u(x))dx=∫f(u)・(dx/du)du
今回程度の場合は頭の中でやる場合が多いですが,
これから∫cos 4θ dθは次のようになる.
∫cos 4θ dθ=∫cos u (dθ/duθ)du=1/4∫cos u du=(1/4)sin u+C=(1/4)sin 4θ+C
∴ (2)=積分[(1/4)sin 4θ] 0 to π/2
上記二つを合わせるので
∫π/2~0(1-cos4θ)dθ=[θ-(1/4)sin 4θ]0 to π/2
となります.分かりましたでしょうか.
この回答へのお礼
お礼日時:2014/10/01 06:01
優しいご回答とヒントをいただき、ありがとうございました。
簡単な置換積分の例題とつき合わせながら、ようやく導けました。
もっと理解できる様に頑張りたいと思います。
No.1
- 回答日時:
1→θの方は大丈夫ですよね?
であれば、後は単なる合成関数の積分です。
教科書の該当部分をきっちり理解して
慣れるまでは x=4θ などと変数変換して計算してみて下さい。
慣れてきたら見ただけですぐ分かるようになります。
ここまで
∫a~b(関数)dθ=[その原始関数] a~b
は分かっているものとして書きましたが、
もしここが理解できていない場合は、これも教科書の該当部分を参照して下さい。
これはやり方さえ覚えておけばいいです。
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