重み付残差法に関する原理的な説明について

偏微分方程式の数値解法へ至るプロセスの中に重み付残差法があります。それを経由しない方法には変分法があります。今回は前者の重み付残差法についてお尋ねします。
この方法に関する書物を見るとその手順が書いてあります。つまり”なぜ”ということに答えることなく、手順の説明を進めていくということになります。どうしてこういう手順を踏むと偏微分方程式の近似解（数値解）が得られることになるのか分かりません。厳密解の場合はどんな方法でもいいから解らしきものを求めて代入して確認すれば解であると判定できます。近似解とか数値解は行き着いた先が正しいかどうかは厳密解が別途得られている場合だったら評価できますが、手法としてそれでよい、という風に思うにはどう考えればいいでしょうか。

何かよい書籍がありましたらご紹介頂きたいのですが。

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/05/25 02:00

より正しい近似解は正解との差がより小さいものというだけの話です。

その考え方に基づいて式の展開を行ったら級数解等の近似解にたどり着いたわけです。出発点が妥当だったら結果も妥当だろうということです。後は正解との誤差をどのように評価するか、正解に近づくにはどのようなパラメータをいじればよいかというような実用的なテクニックが重要になってきます。正解（解析解）が得られるのは解析領域が円とか正方形とか非常に単純な場合に限られます。少しでもいびつになると解析解は級数解を除いて存在しません。級数解は通常無限級数であって、実用上はこれを適当なところで打ち切って使っているのでその意味では近似解です。したがって、正解の得られているきれいな系において重み付残差法によって得られる近似解と正解を比較して必要な精度内に収まっていることが確認できれば手法としては使えるわけであって、それを正解のない現実的な複雑な系に対して使ってもよいだろうという発想に立ちます。このような考え方に基づいてテキストを読んでみれば、どれも妥当な証明を伴った記述になっていることが納得できるのではないかと思います。

この回答へのお礼

有難うございます。スタートラインで厳密解を求めることを諦めて近似解を探すための手法と考える、ということかと思います。ネガティブなスタートというところが何となくそれで良いのかなと思わせるものですが。

お礼日時：2015/06/01 08:08