３次方程式の根の複素数平面上の三角形

次の問題はどう攻めたらよいのでしょうか。
「３次関数 f(z)=0 を満たす３つの解が複素数平面上で三角形を成すとき、 f'(z)=0 の２つの解を焦点とし、上の三角形の一辺の中点を通る楕円は他の辺の中点も通り、かつ三角形に内接することを示せ。」
３次方程式の解が３実数でないときは１個の実数と２個の共役な複素数なので、複素数平面上で三角形を成すときは実数軸を対称軸する２等辺三角形ということは分かります。また、３次関数のグラフは変曲点が２個所あるから f'(z)=0 の２つの解は実数で、複素数平面の実数軸上にあると思います。しかし、実軸上にある三角形の頂点および底辺の中点と、f'(z)=0 の解との複素数平面上での位置関係が分からないので、その先が進みません。どういうふうに考えを進めたらよいのでしょうか。よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： nakaizu 回答日時： 2003/11/28 19:35

簡単な解法を考えてみましたが、思いつきませんでした。

3次方程式を適当に変数変換をして
f(x)=x^3-3p^2x+c=0
とします。f'(±p)=0を満たしています。
cが実数で、方程式の実数解が一つ(aとします)虚数解が二つあるときを考えます。
虚数解はaをつかって
(-a±√(3a^2-12p^2)i)/2
と表わせます。かなり面倒ですがpと中点の距離と-pと中点の距離の和を計算すると|a|になることがわかります。

cが虚数の場合は実部と虚部が簡単にはわからないので非常に厄介です。(しかし定理としては成立します)

なお、後半の三角形に内接することを示すのは比較的簡単です。
一般に、楕円の周上に三点があるときその三点の重心が楕円の中心ならば、三点を接点とする接線により三角形を作ると接点はその三角形の各辺の中点になります。
楕円の式をx^2/a^2+y^2/b^2=1として
2接点の座標を(x1,y1)、(x2,y2)とします。他の一点は重心の条件より(-x1-x2,-y1-y2)となるはずですが、この点が楕円の上にあるためには
x1x2/a^2+y1y2/b^2=-1/2
を満たす必要があります。
以上の条件をみたしていたとき接線を求めると
x1 x/a^2+y1 y/b^2=1,x2 x/a^2+y2 y/b^2=1,
(x1+x2)x/a^2+(y1+y2)y/b^2=-1
となります。二つづつの連立方程式をとくと解は
(-2x1,-2y1),(-2x2,-2y2),(2(x1+x2),2(y1+y2))
となり接点が中点になっていることが確認できます。

この回答への補足

nakaizu様 ありがとうございます。これで解決なのだろうと考えるのですが、私はご説明を追うのに格闘しています。時間がかかりそうなので、取り敢えずお礼申し上げます。
それで、もしできることなら、次の点についてヒントなり頂けないでしょうか。
(1)f(x)=x^3-3p^2x+cとすることで、一般性を損なわないのでしょうか。
(2)実数解をaとして、虚数解(-a±√(3a^2-12p^2)i)/2 にいたる過程。
(3)「cが虚数の場合は非常に厄介だが、定理としては成立します」と言えるのは何故でしょうか。 owlin77

補足日時：2003/11/29 20:47

No.4 回答者： nakaizu 回答日時： 2003/12/01 19:44

(1)について

一般には三次関数の解は複素平面上に三つあるわけですが、この三点を重心が原点になるように平行移動しても証明すべき性質は変わりません。従って重心が原点になる場合(解と係数の関係より二次の係数は0)を証明すればよいことになります。
さらに、回転しても証明すべきことがらは変わりませんから、f'(p)=0となるpが実軸上にくるように回転させると方程式の一次の係数が-3p^2となります。
(2)について、aが解だと方程式は(aを代入すると0になるようにcを決めると)
x^3-3p^2x-a^3+3p^2a=0
となりますが、この式は
(x-a)(x^2+ax+a^2-3p^2)=0
と因数分解されます。あとは二次方程式の解の公式を使うだけです。
(3)については簡単に説明できなかったので非常に厄介だと書いたのですが、あらためて簡単な証明ができるかどうか暇な時に考えてみます。

この回答へのお礼

お礼が遅くなってすみません。ご回答ありがとうございました。なお、これは「シュタイナー楕円」の問題というのだと聞きました。そちらも調べてみます。
ここの質問はこれで打ち切りとしようと思います。

お礼日時：2003/12/14 22:56

No.2 回答者： Largo_sp 回答日時： 2003/11/27 11:54

よく見てくださいね……

変曲点の導関数は2次ですよ、二階微分だから1つ
極値が、一次微分で2つですね


まだ回答まではいたっていませんが……
けど、f(x)=x^3+bx+cと置いても問題の性質は変わりませんよね……
すると。。。

実数解をα　虚数解をβ、・βとすると
Ｒｅ(β+・β)/2＝－α/2　となります。
導関数は、3x^2+bで、　γ＝±√(b/3)
当然b<0なので、f'(z)=0は　虚数軸上になります。
β、・βの中点は、－α/2
βとαの中点は……α/4+Ｉｍβ/2　....

なんとなく出てきそうなのですが。。。

No.1 回答者： Largo_sp 回答日時： 2003/11/26 14:10

ちょっと質問文に間違いがあるので指摘……

解法はわからないですが、

変曲点はf''(z)=0の点で1点だけですよ
f'(z)=0は、2つの虚数解を持つ3次関数では
2つの共役な複素数になりますので、1辺の中点に接するのは明らかです。
後２辺ですが……

問題の感じから行くと、中点までの距離を解と係数の関係で
表せるのかなぁと予想しますが……できない(笑)

この回答への補足

お答えありがとうございます。なお「変曲点はf'(z)=0の点で1点だけですよ 」ということですが、f'(z)=0の点が２つあるのでは無いでしょうか。変曲点という語を間違って使っているのかな。

補足日時：2003/11/26 23:17