高校数学、０で割る可能性について

（問題）
(1)ｎを２以上の自然数とするとき、ｘ＾ｎ－１を（ｘ－１）＾２で割った余りを求めよ。
（2)ｘ＾２－2ax+a+2=0の異なる２つの実数解のうち、ただ１つがー２＜ｘ＜２にあるとき、aの値を定めよ。
（解答、(2)は途中まで）
(1)
ｘ＾(n)-1=(x-1)^2P(x)+ax+b（あ）と表せる。
ｘ＝１を代入して、a+b=0∴ｂ＝-a
ゆえに、（あ）はｘ＾ｎ－１＝（ｘ－１）＾２Ｐ（ｘ）＋a(x-1)。
ここで、ｘ＾(n)-1=(x-1)(x^(n-1)+,,,+1)より、
x^(n-1)+,,,+1＝（ｘ－１）Ｐ（ｘ）＋aで、ｘ＝１を代入して、a=n。
余りはnx-n.
(2)
x＾２－2ax+a+2=0
a(1-2x)=-(x^2+2)
ｘ＝１/2のとき、この方程式は不成立。
ｘ≠１/2のとき、両辺を（１－２ｘ）で割って、a=(x^2+2)/(2x-1).
以下、微分して、グラフを描いた。
（疑問）
（１）ではｘ－１で割るときに、ｘ≠１のもとで割っているはずなのに、★そのあとの式で、ｘ＝１を代入して答えを求めています。
（２）ではｘ≠１/2のもとで、割り、得られたその後の式では当然ｘ＝１/2は定義域から外れます。
★の部分はｘ≠１のもとで割ったのだから違反行為ではないのでしょうか？
（しかしながら、答えは正しいようです）
（１）と（２）の違いは何なのでしょうか？
どなたかわかる方よろしくお願いします。困っております。

質問者からの補足コメント

• 

  両辺に掛ける形にして解くとはどういうことなのでしょうか？
  また、割るということはしていないというのもよくわかりません。
  両辺をｘ－１で割って得られた式にｘ＝１を代入しているのではないのですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/03 03:16

• １週間以上反応せずにすみません。学校の部活の合宿に行っており、ＰＣが手元になかったためサイトを閲覧できませんでした。たくさんの回答をいただけてありがたく思っています。
  すべての回答を読ませていただきました。自分でも考えてみました。
  （１）の０で割るという可能性ですが、
  本問の解答
  「ｘ＾ｎ－１＝（ｘ－１）＾２Ｐ（ｘ）＋a(x-1)（あ）,x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+,,,+1)より、両辺をｘ－１（≠０）で割り、
  ｘ＾（n-1)+,,,+1=(x-1)P(x)+a（い）でｘ＝１を代入してa=nを得た。」
  まず、（あ）を両辺ｘ－１で割ったものが（い）という関係があります。
  （い）は（あ）をｘ≠１のもとで割って得られた式とはいえ、すべてのｘに関して成り立つ式です。ですからｘ＝１を代入しても成り立ちます。（続く）

    補足日時：2015/08/11 16:56

• （これは、数学３の極限の問題で０/０の不定形を回避するために、分母＝０となる因数を分子にも作り出して回避してやる方法と同じでしょうか？）
  こうしてaを求めて、すべてのｘに対して（い）を成り立たせるようなaが求まりました。当然、これの両辺にｘ－１をかけたものが（あ）なので、（あ）においても成り立ちます。
  ★０で割ってはいけないというのは分母＝０となるようにしてはならないと理解してよいのでしょうか？
  方程式でも(x-1)^2/(x-1)=0の解は約分できるので、ｘ＝１です。
  しかし、（２）のように、割り切れない場合、分母＝０となる値（ｘ＝１/２）が解になることはない。

    補足日時：2015/08/11 17:27

• (x-1)^2/(x-1)=0⇔ｘ－１＝０⇔ｘ＝１ではない
  最初の⇔は成り立たないのでしょうか？０で割ってはいけないというのがどういうことなのかわからなくなりました。

    補足日時：2015/08/11 18:13

• 回答ありがとうございます。
  本問の解答というのは問題集に書いてあったものなのですが、「」のように問題集は「」のように考えて解いたのだと思っていました。
  （い）は（あ）の両辺をｘ≠１のもとで、ｘ－１で割ったものですから、ｘ＝１では成り立たないはずですが、問題集の解答は（い）は（あ）の両辺をｘ－１で割ったものだと考えているというよりも、
  その事実は無視して、
  aが（い）を成り立たせるならば（あ）も成り立たせるし、（あ）を成り立たせるならば（い）も成り立たせるという関係にあるような（い）だと考えているのでしょうか？
  （だから、（い）はｘ＝１を代入しても成り立つのでしょうか？）

  No.14の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/08/13 03:07

• 先ほどの投稿に追加してお聞きしたいのですが、
  （い）は（あ）を両辺ｘ－１で割ったものだとすると、（い）はｘ≠１という制約がつくのですよね？
  （０で割ってはいけないということの意味が気になったので、質問しています）

    補足日時：2015/08/13 03:11

No.5 回答者： k_jinen 回答日時： 2015/08/03 12:10

#2です。

F(x)を
F(x) = (x^n-1)
とします。

問題の「割る」という行為を質問文中の記号P(x), ax, bを用いて忠実に式に表わすと
( F(x) - (ax+b) ) / (x-1)^2 = P(x) （い）
となります。

この式は確かに x=1 では成立しませんが、P(x)を求めるための条件は{x=1以外の任意のxで成立する｝です。

で、両辺に(x-1)^2を掛けて整理すると
（あ）の式に変形することができます。
F(x) = (x-1)^2 P(x) + ax + b （あ）
この式のみでは、x≠1という縛りはありません。

したがって（あ）でP(x)を求める条件は{任意のxにて成立する}として何ら問題はありません。
条件が広くなって{x=1｝でも成立する式になっています。

この条件の元で、「ずるく」x=1を代入してa,bが満たすべき条件を出してやります。
（あ）の式でx=1を代入して求めた値は、（あ）の式にて{x=1以外の任意のxでも成立｝しなければならない条件となります。
任意のxにて成立しうるa,bが求まってしまえば、条件を狭めて、x≠1とし（い）の式を考えればいいことになります。

「ずるい」部分を要約するなら
制約された条件を含有する、より一般的な条件にて一般解を得られたなら、制約された条件でもその解が有効だ
ということです。（無論、２種類以上のパラメータにて、一般化するパラメータと異なるパラメータの値を求める目的にて有効）
（※質問の場合、求めたいものはa,bであり、一般化するパラメータはx）

応用として、下記があります。
２点(x1,y1), (x2,y2)を通る平面における直線の方程式は、一般的に
y = ( (y2-y1)/(x2-x1) ) (x-x1) + y1 --- (1)　（ただし、x1≠x2）
として計算することが多いかもしれませんが、より一般的には式を少し変形し、両辺に(x2-x1）を掛けた
(y2-y1) (x-x1) = (x2-x1) (y-y1) --- (2)
として表すことができます。
(1)では　x2=x1　の場合を別に分ける必要がありますが、（２）ではx2=x1、すなわちy軸に平行な直線も含んだ、より一般的な式となっています。
（※この場合、求めたいものはx,yの関係であり、一般化するパラメータはx1,x2）

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/08/03 10:59

0割での誤りというのは

a(x-1)=b(x-1)

の両辺を(x-1)で割って

a=b

と結論付けること。これはx=1の場合のみ正しくないです。
式から「0になりうる因子を削除」しているからです。

任意の多項式f(x)は

f(x)=b(x-1)+c

の形に表せますが、bはf(x)をx-1で形式的に割って
求めることが出来ます。

x-1で形式的に割るというのは、式を
f(x)=b(x-1)+C という形式に変形した場合の
xの値に関わらずに決まるbを
求めるということです。

No.3 回答者： jmh 回答日時： 2015/08/03 03:09

例えばｘ^2＋ｘ－２をｘ－１で割った商は、ｘ＋２なのか、ｘ＋２の定義域からｘ＝１を取り除いたものなのか、どちらかというとただのｘ＋２だと思います、なんとなく。

No.2 回答者： k_jinen 回答日時： 2015/08/03 01:20

高校数学にて、「割る」形だと、ゼロで割る可能性があるので、全て両辺に「掛ける」形にして問題を解くことを教わりました。

ある意味「ずるい」と思った手法ですが、平面での直線、空間での平面の方程式等を解く場合等にも使われ、非常に重宝したことを覚えています。

＃１のTacosanさんが仰っているように「割る」ことをしていないのです。この限りにおいて、該当部分が「ゼロ」になったとしても「全てのXにて等号は成立する」という条件のみを使うことができます。「全てのXにおいて成り立つ」からこそ「ゼロ」になる値を代入しても成立するわけです。何ら違反は犯していません。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/08/03 00:06

(1) はもとから「割る」なんてことしてないからねぇ.