数列の問題ですが、なかなか答えが合わないのです教えて頂けると幸いです写真が見え辛いかったらすみま

数列の問題ですが、なかなか答えが合わないのです
教えて頂けると幸いです
写真が見え辛いかったらすみません…

質問者からの補足コメント

• 漸化式の特定方程式のパターンでの回答が問題集にのっていました。
  この問題の回答はa(n)=2・3のn-1乗-1でした。
  発展に階差数列を利用しようというのがありましたが、自分でやってみて答えが合わなかったので質問しました。

    補足日時：2016/02/01 17:40

No.6 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2016/02/02 16:34

a(n+1)=3a(n)+2 ･･････ ①

a(n+2)=3a(n+1)+2 ･･････ ②
②-① より
a(n+2)-a(n+1)=3{a(n+1)-a(n)}
=3^2{a(n)-a(n-1)}
=3^n{a(2)-a(1)}
① より
=3^n{3a(1)+2-a(1)}
a(1)=1 より
=3^n(3+2-1)
=4･3^n
よって、
数列 {a(n)} の階差数列を {b(n)} とすると、
b(n)=a(n+1)-a(n)
=4･3^(n-1)
したがって、数列 {a(n)} は、n≧2 のとき、
a(n)=a(1)+Σ[k=1,n-1]b(k)
=1+Σ[k=1,n^1]4･3^(k-1)
=1+4{3^(n-1)-1}/(3-1)
=1+[4{3^(n-1)-1}]/2
=1+2{3^(n-1)-1}
=1+2･3^(n-1)-2
=2･3^(n-1)-1 ･･････ ③
③ に n=1 を代入すると、
a(1)=2･3^0-1=2-1=1
よって、③ は n=1 のときも成り立つ。
したがって、数列 {a(n)} の一般項は、
a(n)=2･3^(n-1)-1

a(n+2)=3a(n+1)+2 を利用して、
階差数列を利用して、
とあるので、
このような解答になるのでは？

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/02 12:13

その「自分でやってみて答えが合わなかった」を具体的に書いてほしいなぁ.

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/01 15:41

「なんで自然数の足算しててルートがでてくるんだろう」はちょっと短絡的すぎるかな＞#3. フィボナッチ数列をはじめとして「一般項に根号が現れる」こと自体は特に珍しくないので, 「ルートが出てくる」ことそのものを「疑問に思わない」のが不自然とは言えない. とはいえ, 今の場合は 2項間漸化式だから結局のところ根号はつかないんだけどね.

ちなみに #2 の敗因は式(2) で
a(n+1)-ｐa(n)=q(a(n)-p)
としたところ. じっと考えると分かるけど, この形にしちゃうとその後
a(n+1)-ｐa(n)=q(a(n)-p)=q^2(a(n-1)-p)=....=q^(n-1)(a(1)-p)
って続かない.

No.3 回答者： xs200 回答日時： 2016/02/01 15:20

なんかすっごいむずかしい(No.2)。

なんで自然数の足算しててルートがでてくるんだろう? それを疑問に思わない感覚って!
a(n)=1ではなく、a(1)=1ですよね?
a(n+1)+1=3x(a(n)+1)=3^n(a(1)+1)=2x3^n
よって
a(n)=2x3^(n-1)-1

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2016/02/01 12:52

a(n+1)=3a(n)+2 (1)

これが
a(n+1)-ｐa(n)=q(a(n)-p)　（2）
の形の書けたとすると
a(n+1)-ｐa(n)=q(a(n)-p)=q^2(a(n-1)-p)=....=q^(n-1)(a(1)-p)
すなわち
a(n+1)-ｐa(n)=q^(n-1)(a(1)-p)　　(3)
という変形ができます。
(2)を変形して
a(n+1)-qa(n)=p(a(n)-q) (4)
と書けることが解りますか。
(3)と同様に
a(n+1)-ｑa(n)=p^(n-1)(a(1)-q)　 (5)

(3)×q-(5)×pを作るとa(n)が消えて
(q-p)a(n+1)＝q^(n)(a(1)-p)-p^(n)(a(1)-q)
a(n+1)=[q^(n)(a(1)-p)-p^(n)(a(1)-q)]/(q-p)
従って
a(n)=[q^(n-1)(a(1)-p)-p^(n-1)(a(1)-q)]/(q-p)　　　（6）
という一般解が得られます。

まず、p,qを求めます。
a(n+1)-(ｐ+q)a(n)+pq=0
a(n+1)=(ｐ+q)a(n)-pq
(1)と比較して
p+q=3
pq=-2
p,qを解とする2次方程式は
t^2-3t-2=0
t=[3±√(9+8)]/2＝(3±√17)/2よって
p=(3-√17)/2, q=(3+√17)/2 (7)

(6)に(7)を代入し
a(n)=[{(3+√17)/2}^(n-1)(a(1)-p)-{(3-√17)/2}^(n-1)(a(1)-q)]/√17

写真の最初の式は
a(1)=1と思われます。
a(1)-p=1-(3-√17)/2=(-1+√17)/2
a(1)-q=1-(3+√17)/2=(-1-√17)/2

これらを用いて

a(n)=[{(3+√17)/2}^(n-1){(-1+√17)/2}-{(3-√17)/2}^(n-1){(-1-√17)/2}]/√17
=[{(3+√17)/2}^(n-1){(√17-1)/2}+{(3-√17)/2}^(n-1){(1+√17)/2}]/√17

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/02/01 12:06

「なかなか答えが合わないのです」ということは, あなた自身で計算をして何かしらの「答え」が出てるんだよね?

どのように考えどう計算して, どんな「答え」にたどり着いたんですか?