ﾄﾞｯﾄV=|Vm|×e^(jθ) とした場合、オームの法則は成り立つ？

交流電源回路についての話です。

①v=Vm×sinωt　(Vm：最大値)
②ﾄﾞｯﾄV=|Vm/√2|×e^(jθ)
③ﾄﾞｯﾄV=|Vm|×e^(jθ)

①式を複素数表示すると、一般的には②式になると思います。
この時オームの法則|ﾄﾞｯﾄV|=|ﾄﾞｯﾄZ|×|ﾄﾞｯﾄI| が成り立つと教わりました。

ですが、①式の複素数表示をあえて③式とした場合に、同じように、オームの法則は成り立つのでしょうか？

複素数表示が今一つ掴み切れていない為このような質問を致しました。
教えてください。

質問者からの補足コメント

• >その場合、複素電流の絶対値を電流の最大値となるように定義しておかないといけません。
  
  上記部分を省略して書いてました。お手数をお掛けしてしまい申し訳ありません。
  
  インピーダンスに変化が無いのを少々不思議に感じてしまいました。
  答えを知ってしまうと、
  「確かに、直流電源を考えた時、電圧を変えても電流が変化するだけで、抵抗値は変化しないなあ。それと同じなのかなあ。」
  と思えますが。
  なぜ変わらないのでしょうか？
  このような質問申し訳ありません。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/03/02 15:29

No.2 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/03/02 14:45

成り立ちます。

その場合、複素電流の絶対値を電流の最大値となるように定義しておかないといけません。
②③の流儀にかかわらず複素インピーダンスの値は変わりません。

|ﾄﾞｯﾄV|=|ﾄﾞｯﾄZ|×|ﾄﾞｯﾄI|
左辺の|ﾄﾞｯﾄV|が√2倍になり、右辺は|ﾄﾞｯﾄI|だけが√2倍で|ﾄﾞｯﾄZ|は値が変わらないため、この式は変わらず成り立つのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/03/04 00:11

No.4 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2016/03/03 19:49

複素数の再勉強をしてね。

そしてsinとかを複素数を利用する際にはいくつか変換を行っていることを忘れずに。(回転系への変換と縮尺変換)

位相は電源電圧を0として考えます。
ドットZ=|Z|e^(jθ)ならば、
ドットI=|I|e^(-jθ)
になり、虚数を打ち消すような関係にあります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2016/03/04 00:11

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/03/02 17:14

三角関数表示での「オームの法則」は納得されているようなので、三角関数で計算してみましょう。

I = Im * [ cos(ωt) + j*sin(ωt) ] (=Im * e^(jωt) )　　　（１）
として、インピーダンスを
Z = Z1 + jZ2　　　（２）
とすれば、
　V = I * Z = Im*[ Z1*cos(ωt) - Z2*sin(ωt) ] + j*Im*[ Z2*cos(ωt) + Z1*sin(ωt) ]　　（３）
（これが交流でのオームの法則です）

　ここで、インピーダンスの位相角 φ を
　　tan(φ) = sin(φ) / cos(φ) = Z2 / Z1　　　（４）
とおけば、両辺を2乗すると
　　sin^2(φ) / cos^2(φ) = Z2^2 / Z1^2
sin^2(φ) = 1 - cos^2(φ) なので
　　( 1 - cos^2(φ) ) / cos^2(φ) = Z2^2 / Z1^2
　　1 / cos^2(φ) - 1 = Z2^2 / Z1^2
　　1 / cos^2(φ) = Z2^2 / Z1^2 + 1 = (Z1^2 + Z2^2) / Z1^2
よって
　　cos(φ) = Z1 / √(Z1^2 + Z2^2)
これより
　　sin(φ) = Z2 / √(Z1^2 + Z2^2)
これを変形して
　　Z1 = cos(φ) * √(Z1^2 + Z2^2)
　　Z2 = sin(φ) * √(Z1^2 + Z2^2)

これを（３）に代入すれば

　　V = Im*√(Z1^2 + Z2^2)*[ cos(ωt)*cos(φ) - sin(ωt)*sin(φ) ] + j*[ cos(ωt)*sin(φ) + sin(ωt)*cos(φ) ]
　　　= Im*√(Z1^2 + Z2^2)*[ cos(ωt + φ) + j*sin(ωt + φ) ]
　　　= Im*√(Z1^2 + Z2^2)*e^[j(ωt + φ)]　　　（５）

　このとおり、三角関数で計算しても、絶対値は
　　|V| = |I| * |Z|
位相は tan(φ) = Z2 / Z1 に相当する φ 分だけ進みましたよね。


　複素数なら、インピーダンスの（２）を
　　Z = √(Z1^2 + Z2^2) * e^(jφ) = √(Z1^2 + Z2^2) * [ cos(φ) + j*sin(φ) ]
と表記して
　　V = I * Z
　　　= Im * e^jωt * √(Z1^2 + Z2^2) * e^(jφ)
　　　= Im*√(Z1^2 + Z2^2) * e^(jωt) * e^(jφ)
　　　= Im*√(Z1^2 + Z2^2) * e^[j(ωt + φ)]
で、一発で（５）が求まります。
　「オームの法則」の式の形としては、こちらの指数表示の方が、単純な掛け算でピッタリはまります。


　なお、ここでは、
　　Vm = Im*√(Z1^2 + Z2^2)
とおけば、
　　V = Vm * e^[j(ωt + φ)]
　　　= Vm * [ cos(ωt + φ) + j*sin(ωt + φ) ]
となります。

　もし、最初の（１）で、
　　I = (Im/√2) * e^jωt = (Im/√2) * [ cos(ωt) + j*sin(ωt) ]
とおいていれば、（５）は
　　V = (Im/√2)*√(Z1^2 + Z2^2)*e^(ωt + φ)
となり、Vm = Im*√(Z1^2 + Z2^2) と定義してあれば、このときには
　　V = (Vm/√2) * e^(ωt + φ) = (Vm/√2) * [ cos(ωt + φ) + j*sin(ωt + φ) ]
となるだけの話です。

　質問者さんの以前の質問にも回答したように、「実効値」の「1√2」 は、交流においても「電圧」×「電流」＝「電力」となるように振幅を「規格化」したものであって、三角関数表示から指数表示にするときに追加されるわけではないのですから。

　つまり、質問で示された式では
① v = Vm * sin(ωt) 　←等価→　③ﾄﾞｯﾄV=|Vm| * e^(jωt)
ということです。もし②の表記を使うなら、
②ﾄﾞｯﾄV=|Vm/√2| * e^(jωt) 　←等価→　v = (Vm/√2) * sin(ωt)
ということです。
（同じ等価な関数を表わすため、θ→ωt に表記を統一しました）

この回答へのお礼

複素数表示の大きさの部分を瞬時値の最大値とした時と、実効値にした時とでオームの法則が成り立つ事を計算して頂いたわけですね。
ありがとうございます。

お礼日時：2016/03/02 18:42

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/03/02 14:43

成り立つ... んだけど, (2) や (3) の θ って (1) のどこから出てきたんでしょうか?