数学五輪の問題の開放について

こちらの問題３についてです。

http://igakubu.info/jmo2016yosen/

添付図は角度が実態に合いませんが悪しからず。
黒は命題。青仮定したもの。赤は計算結果としたつもりです。

円に内接する六角形とその辺を延長した交点をＰ，Ｑ，Ｒ，Ｓとして，それぞれの角が図の値で会った時の∠xの値はいくらかと言う問題。

α，βの青文字をここの角度すると，同じ玄の円周角は等しい（鋭角は鋭角，鈍角は鈍角で等し）ので赤文字のα，βの角度がわかります。

弦の反対側の円周角は，正弦定理の応用でa/sinA=2Rから計算すると，弦からの円周角の鈍角と鋭角には180-鋭角=鈍角が成り立つ（sinΘが同じなので）。

四角形APDSの内角の和は

35+50＋180-α+180-β=360

α+β=85

よって∠x=180-85=95となる。

とりあえず答えは合っている。

先の添付のURLでは別な解説してますけど・・・

【質問１】

質問はここで書いたのが数学的に合っているのか？少々タイプしているので証明の解説としては不足しているかもしれませんが，ここは大目に見て下さい。論理的に間違いないですか？

なぜ，こんなことを聞くのかと言えば，ＵＲＬにあった回答がちょっと面倒かな？と思ったので。

しかし，ここでの私の開放がどこか落ち度があるかもしれないので，質問する次第です。

【質問2】

ＵＲＬでの解説にあっさりと角度α+55が解るとありますけど，この理屈が理解できていない。


　まあ，頭の体操と春から高校２年になる息子の数学の問題を最近必死で問いて教えているもので，つい，数学五輪なんてのが気になった。

　気が剥いたら解説お願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2016/03/17 21:54

【質問１】

あなたの解法のほうがエレガントでスマートですね。
あえて言うなら、弦の反対側の円周角は正弦定理を使わずとも、円周角の定理、または、円に内接する四角形の向かい合う内角の和は180゜という性質から求められます。
添付のURLの解法は、αとβを求めるならこの方法でいいですが、α+βを出すだけなら冗長でしょう。

【質問2】
半直線EFと半直線BAの交点をUとすれば、
∠FUA=90°
∠UAF=α
であることから、
∠SFE=∠AFU=90°-α
これから、
∠SEF=55°+α
が出てきます。

この回答へのお礼

＞あなたの解法のほうがエレガントでスマートですね。

　ドキッとしました。質問でエレガントとか書こうとしたので。確か，数学者の矢野健太郎氏の数学のエッセイ的な本にこの表現があったかな？数学的な言葉はあるけどあまり数式は出てこなかったと思う。なぜ読んだのかは覚えてないけど，面白かったな。
　数学はスマートに解かないと・・・できませんけど。

＞あえて言うなら、弦の反対側の円周角は正弦定理を使わずとも・・・。

　やはり基礎体力落ちてます。SINCOSTANとLog10は使ってますけど，基本的なところだけ。どこだかの知事がSINCOSTANは女に要らないと言い，避難浴びましたね。
　まあ，一般に日常で数学使う事はあまりないと思います。でも，今の世の中，数学の恩恵に浴している事実は間違いない。ただ知らないだけですね。

質問２については，言われれば簡単ですね。

ほんと，数学遠ざかって頭が錆びています。さすがに数学五輪は予選のここまでが私の限界かな？

これ以上五輪問題にかかわろうと思いませんけど，もしまた疑問持ったら懲りずにご教示ください。

お礼日時：2016/03/18 21:57