正則行列の固有値について

ｎ次正方行列Aが正則であるとき、

１．Aは対角化可能である
２．Aはｎ個の相異なるゼロでない固有値をもつ
３．Aはｎ個の相異なる固有ベクトルをもつ

上記１、２、3は正しいですか。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/01 00:02

全部 NO.

この回答へのお礼

例とかありませんか。

お礼日時：2016/05/01 00:11

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/05/01 00:49

1 1

0 1

No.3 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/01 01:08

A は体 K 上の n 次正方行列で正則、という解釈でいいですか。

で, K は具体的に何ですか。
K が何であっても, 1. と 2. は A と n を工夫することで反例を作れます。
3. は, n 個の相異なる「線型独立な」固有ベクトルをもつ, とは違うのですね。
n 個の相異なる固有ベクトルをもつ, とは, ぴったり n 個ですか。
それとも, n 個より多くてもいいのですか。

この回答へのお礼

＞で, K は具体的に何ですか。

実数体Rです。

＞3. は, n 個の相異なる「線型独立な」固有ベクトルをもつ, とは違うのですね。
n 個の相異なる固有ベクトルをもつ, とは, ぴったり n 個ですか。

ぴったり n 個の相異なる「線型独立な」固有ベクトルをもつの意味です。

お礼日時：2016/05/01 01:54

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/01 03:04

了解しました。

K = R で、ぴったり n 個の相異なる「線型独立な」固有ベクトルをもつ、ですね。
でしたら、すでに No.2 様の挙げた例が, 1, 2, 3, すべての反例になっています。

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/01 15:29

1.正しくない。

固有値が重複する場合、線型独立な固有ベクトルが
n個作れないケースが有る。
対角化には線型独立なn個の固有ベクトルが必要。

例 A=
4 -2
2 0

固有値=2のみ。固有ベクトルは
1
1
のみ

2.正しくない

上のAでは固有値は2が2個。つまり重解

3.正しくない。1で回答済み