水晶振動子の共振周波数の計算

添付等価回路のような水晶振動子の共振周波数を計算したく、色々調べたところ、以前投稿された下記質問を見つけました。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/9182524.html
　　　
この質問に対しての回答NO7の中に
|z|={R1+jωL1+ 1/(jωC1)}/[jωC2{R1+jωL1+1/(jωC1)+1/(jωC2)}]　－－－－（１）

　 ={R1(ωL1-1/(ωC1)-{ωL1-(C1+C2)/(ωC1C2)}-j[R1^2+{ωL1-(C1+C2)/(ωC1C2)}{ωL1-1/(ωC1)}]/[ωC2[R1^2+{ωL1-(C1+C2)/(ωC1C2)}^2]]　　－－－－（２）

（添付図ではC０が上式のC2になっています）

という式があるのですが、（１）式から（２）式への変形をすることができません。自分が有理化をうまく出来ていないのだと思いますが、（１）式から（２）式への途中過程をなるべく詳細に教えて頂けませんでしょうか？
また同じく回答NO７の中で”R1は無視できるほど小さい”とあるのですが、この理由も教えて頂けませんでしょうか？

よろしくお願い致します。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/30 10:30

あまり意味ありませんが、式変形すると

L=L1, R=R1 として
ωL=Z0
ωC1=Z1
ωC2=Z2
Z3=Z1Z2/(Z1+Z2)=ωC1C2/(C1+C2)

とすると

Z={R+jZ0+1/(jZ1)} / [jZ2{R + jZ0 + 1/(jZ1) + 1/(jZ2)}]
= (R+j(Z0-1/Z1)} / [jZ2{R + ｊ(Z0-1/Z1 - 1/Z2)}]
=(R+j(Z0-1/Z1)}{R - ｊ(Z0-1/Z1 - 1/Z2)}
/ [jZ2{R^2 + (Z0-1/Z1 - 1/Z2)^2}]
={R^2 +(Z0-1/Z1) (Z0-1/Z1 - 1/Z2) + jR/Z2}
/ [jZ2{R^2 + (Z0-1/Z1 - 1/Z2)^2}]
=[-j{R^2 +(Z0-1/Z1) (Z0-1/Z1 - 1/Z2)} + R/Z2]
/ [Z2{R^2 + (Z0-1/Z1 - 1/Z2)^2}]
=[-j{R^2 +(Z0-1/Z1) (Z0-1/Z3)} + R/Z2]
/ [Z2{R^2 + (Z0-1/Z3)^2}]

やっぱ、零点と極の積の形の方がずっと扱いやすいですね(^^;

ちなみにこの操作は「有理化」ではありません。単に分母から
虚数成分をなくしただけです。

この回答へのお礼

途中過程の式を書いて頂き、ありがとうございました。理解することができました、

お礼日時：2016/05/31 08:17

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/05/28 09:52

地道に分母を実数化するだけですが、

実数化してもあまり意味ないです。
(1)のままで充分考察可能です。

>”R1は無視できるほど小さい”とあるのですが、この理由

意味が良くわかりませんが、小さいからです。

R1は数十オーム。C1は通常 pf~数十pF のオーダです。

水晶の振動による物理的な損失量を
知りたいという話なら、私の手に余ります(^-^;

この回答へのお礼

ありがとうございます。地道に手計算したのですが、有理化できず困ってます。。。

お礼日時：2016/05/28 12:24