No.1ベストアンサー
- 回答日時:
2つ解法があります。
1)条件が楕円なので x = 2cosθ、y=√(2)sinθ とし、z をθの関数として
解く。
z(θ)=2cosθ√(2)sinθ
dz/dθ = 2√(2){-(sinθ)^2+(cosθ)^2}
つまり停留点は θ=(1/4)π, (3/4)π, (5/4)π, (7/2)π
それぞれのzの値は
z=√2, -√2, √2, -√2
以上から、最大値は √(2), 最小値は -√(2)
2) ラグランジュの未定乗数法を使う。
h(x, y, λ)=xy+λ(x^2+2y^2-4)
但し、ラムダはラグランジュの未定乗数。
∂h/∂x = y + 2λx = 0 → 2y^2+4λxy=0
∂h/∂y = x + 4λy = 0 → x^2+4λxy = 0
従って x^2 = 2y^2
これを x^2+2y^2-4 = 0 に入れると
4y^2 = 4 → y^2=1, x^2=2
つまり、停留点は
A=(√(2), 1), B=(-√(2), 1), C=(√(2), -1), D=(-√(2), -1)
の4点。それぞれの z値は
A→ √2, B→-√(2),C→-√(2),D→√(2)
以上から、最大値は √(2), 最小値は -√(2)
No.3
- 回答日時:
ついでに 3') 本質的に 3) と同じだがより低学年向け:
(x + √2y)^2 = x^2 + 2√2xy + 2y^2 = 4 + 2√2z ≧ 0 より z ≧ -√2.
一方 (x - √2)^2 = 4 - 2√2z ≧ 0 より z ≦ √2.
No.2
- 回答日時:
3) 相加相乗平均の関係を使う: x^2 + 2y^2 - 4 = 0 を満たす任意の x, y に対して符号を変えたものもまたこの等式を満たすから, x > 0, y > 0 の制限のもとで z = xy の最大値を求めれば十分. そしてそのとき
z = √(x^2y^2) = √[(x^2 ・ 2y^2)/2] ≦ (1/√2) [(x^2 + 2y^2)/2] = √2.
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