物理 波動の問題

y=Asin(2πft) で表される振動をする波源O,Pを考える。
波源Oから発した波が点Qで反射し、Pから発した波と点Rで出会うとする。
波長がλの時、OQ=nλ、QR=(nλ)/2、RP=(nλ)/2、と表すことが出来るとする(nは自然数)。
Qにおける反射が自由端反射の時、点Rにおける媒質の変位yRを表す式を書き、波源の振動yと媒質の変位yRの関係を示せ。

解いてみましたが、答えが綺麗にならないのでどなたか詳しい方お願いします<(_ _)>

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます<(_ _*)>
  
  波の方程式は大丈夫なのですが
  初め解いた時に
  y=2Asin2π(ft-n)
  となり、nが偶数か奇数かで位相が変わってしまうなぁと思い、そこで悩んでいました。
  回答を見ると、nで場合分けすればいいということですね？

    補足日時：2016/07/27 01:48

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/27 01:04

No.1です。

もう少し補足。

波の方程式が
　　f(x,t) = A*sin[ 2パイ(ft - x/λ) ]
と書けるのはよいですね？

ふつう出てくる波の図は、この式で「時間よ止まれ！」として t=const （例えば t=0）としたときの「波の空間上の分布」です。横軸は「座標 x」。

それに対して、ある座標で「時間とともにどう揺れるか」というのが、上の式で x=const としたときの「波の時間変化」です。グラフにするなら、横軸は「時間 ｔ」にします。

ある座標でみると、時間とともにやって来るのは「過去の波」つまり「その座標よりもマイナス側にあった波」です。つまり「座標 x」と「時間 t」は「負号が逆の関係」になります。ここがちょっと分かりづらいので、よく考えておいてください。

この「波の2つの側面」をきちんと考えないと、この問題は解けません。

あとは、「自由端反射」は、鏡の向こう側（鏡に映った波）がそのまま通過してきたと考えればよいので、質問の問題の場合には、PQの延長線上に O の写像 O' を考えて、O' から直進してくる波そのものを考えればよいということです。

この O' を原点として、O'P を x 軸とし、Q, R, P のある側を「正」とすれば

（１）O' から発した波
　　f1(x,t) = A*sin[ 2パイ(ft - x/λ) ]

（２）P から発した波：O'Q=L とすると、座標 x=2L から逆方向に進む波なので
　　f2(x,t) = A*sin{ 2パイ[ft - (2L - x)/λ] }
　　　　　 = A*sin[ 2パイ(ft + x/λ - 2L/λ) ]

（３）この2つを合成した波は
　　f(x,t) = f1(x,t) + f2(x,t)

　点 R は x= (3/2)L = (3/2)nλ　なので
　　f1 = A*sin[ 2パイ(ft - (3/2)n) ]
　　　 = A*sin[ 2パイft - 3nパイ) ]
　　　 = A*sin[ 2パイft ]　（n : 偶数のとき）
　　　または
　　　 = -A*sin[ 2パイft ]　（n : 奇数のとき）

　　f２ = A*sin[ 2パイ(ft - (1/2)n) ]
　　　 = A*sin[ 2パイft - nパイ) ]
　　　 = A*sin[ 2パイft ]　（n : 偶数のとき）
　　　または
　　　 = -A*sin[ 2パイft ]　（n : 奇数のとき）

　以上より
n：偶数のとき
　　f = 2A*sin[ 2パイft ]
　よって
　　yR = 2y
n：奇数のとき
　　f = -2A*sin[ 2パイft ]
　よって
　　yR = -2y

　質問者さんの「きれいにならない」答えがどういうものか、「補足」にでも書いてみてください。何が違っているかが分かると思います。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/26 23:42

y=Asin(2πft) で表される振動をする波源O,Pを考えると、Ｏ，Ｐからの距離 x における振幅がどうなるか分かりますか？

この y=Asin(2πft) はＯ、Ｐが時間の関数としてそのように振動しているだけで、空間中にはどう波が伝わるのか記述されていません。
「空間」中の伝播には、「波の速度」が必要ですが、それに関する記述はありませんね。

波の速度を V とすると、ｔ秒後には x=Vt だけ進み、その間に波は sin(2πft) だけ振動する、つまり「ft回」振動します。波長をλとすれば
　λ = Vt / ft = V/f
です。

従って、空間の座標を考慮した波の方程式は
　f(x,t) = A*sin[ 2パイ(ft - x/λ) ]

これで、OQ=L, QR=L/2, PR=L/2 、つまり
　O→R：x1=(3/2)L, P→R：x2=(1/2)L
ということですね。そして、L=nλ。
これに、「自由端反射」の条件を入れて点 R における波を足し合わせればよいはず。