放射平衡の問題です

90Sr（半減期28年）1mgと放射平衡にある90Y（半減期64時間）の質量（mg）はいくらか。
また両方の放射能を求めなさい。

解答がわかりません。
よろしくお願いします！

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/09/05 16:19

放射平衡の意味は分かりますか？

90Sr →(β：28y)→ 90Y →(β：64h)→ 90Zr (安定）

の系列で、90Y が次々と生成されながらどんどん壊変していくという状況で、どのような平衡状態になるかということです。
この場合には、28y >> 64h なので、「90Y は生成されたらすぐに壊変してしまう。次の 90Sr の壊変待ち」という状態ですね。

90Sr、90Y の原子核数、壊変定数をそれぞれ N1、N2、λ1、λ2 とすると、（半減期を T1, T2 として、λ1=0.693/T1, λ2=0.693/T2）
　dN1/dt = -λ1*N1
　dN2/dt = λ1*N1 - λ2*N2
より
　N1 = N0*exp(-λ1*t)
　N2 = [ λ1/(λ2 - λ1) ]*N0*[ exp(-λ1*t) - exp(-λ2*t) ]
（何故こうなるかは、最下段のリンク先を参照）

T1>>T2 より λ1<<λ2 なので
　N2 ≒ (λ1/λ2) *N0*exp(-λ1*t) = (λ1/λ2)*N1 = (T2/T1)*N1

N1 が 1 mg なので
　N1 = (64h/28y) * 1 (mg) = (64h/255500h) * 1 ≒ 2.61 * 10^(-4) (mg)

90Sr の放射能は、１秒間の壊変数なので、時間の単位を「秒」にして
　R1 = -dN1/dt = λ1*N1 = 0.693/(28y * 365d * 24h * 3600s) *N1　　①

ここで、90Sr １モルの質量は 90g で、その原子核数がアボガドロ定数（6.02 * 10^23）なので、1 mg 中の原子核数は
　　N1 = 6.02 * 10^23 * 1/(90*10^3) ≒ 6.69 * 10^18
なので、①より
　　R1 = 5.25 * 10^9 (Bq)

同様に、90Y の放射能は、90Y １モルの質量は 90g で、その原子核数がアボガドロ定数（6.02 * 10^23）なので、2.5 * 10^(-4) mg 中の原子核数は
　　N2 = 6.02 * 10^23 * 2.61 * 10^(-4) /(90*10^3) ≒ 1.34 * 10^15
なので、
　　R2 = -dN2/dt = λ2*N2 = 0.693/(64h * 3600s) N2 = 5.25 * 10^9 (Bq)
　
以上より、平衡状態では 90Sr と 90Y の放射能は等しくなっています。

少し詳しい解説は、こんなところで。
http://radioisotope1.blog.fc2.com/blog-entry-142 …
http://fnorio.com/0079radioactive_decay_series1/ …