べき級数の収束半径

べき級数の収束半径を求めよ。

1,Σn=1 ∞　((-1)^n)*n*2^n*z^n
2,Σn=1 ∞ n^3*z^n
3,Σn=0 ∞ ((2n+1)/n!)*z^n
4,Σn=0 ∞ ((-1)^n)*n!*z^n

以上の問題がわかりません。教えてください。
あまりわかっていないので丁寧にお願いします。

No.2 回答者： siegmund 回答日時： 2001/06/25 01:39

taropoo さんの回答がありますので，ちょっとだけ補足．

taropoo さんの(i)式は定義でなくて，定理ですね．
コーシー・アダマール(Cauchy－Hadamard)の定理と名前がついています．

級数の収束発散はもともとはε-N 論法で定義され，３つの場合
(a) z のすべての値に対して収束
(b) z のすべての値に対して発散
(c) ある正数ρがあって，|z|<ρのとき収束，|z|>ρのとき発散
しかないことを示すことができます．
(c)の場合のρが収束半径の定義．
(a)ならρ=∞，(b)ならρ= 0 とみなす．

(ii)の定理は，ダランベール(d'Alembert)の定理と名前がついています．

karkarl さんの質問は，多分，
解析学あるいは微分積分学などの授業に関する質問ですよね．
テキストで，コーシー・アダマールの定理やダランベ－ルの定理のあたりを
熟読し，全体の論旨と構成を把握する方が先だと思います．
でないと，よくわからず公式を適用しただけ，先に行くとまたわからない，
になってしまいます．

無限等比級数の収束発散はもちろんご存知ですよね．
荒っぽい言い方をすれば，(i)(ii)の定理は，
ｎが十分大きいところで問題の級数が公比１の無限等比級数より
増加が早いかどうかを調べている，
ということですが，そのあたりの理解は大丈夫でしょうか？