【至急】物理学の動摩擦の問題を教えてください。

物体が水平面と傾角aの粗い斜面の最大傾斜線に沿って降下する。動摩擦係数をμとして、この物体の運動を考察せよ。
（この問題の初期条件を次のようにするt=0のときx=0、dx/dt=V0>0）

上の問題の初期条件をかっこの中のようにしたらどうなるかわかりません。
降下する運動方程式は立てることができましたが、初期条件を考えると、どうすればよいかわかりません。教えてください。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

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  m(d^2x/dt^2)=-mgsinα-μmgcosα
  このようになりました。よろしくお願いします。

    補足日時：2016/11/10 00:27

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  m(d^2x/dt^2)=-mgsinα-μmgcosα
  このようになりました。よろしくお願いします。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2016/11/10 00:28

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/10 17:06

No.2です。

初速度 V0 >0 と書くのであれば、初速度が斜面下方向ならば dx/dt = -V0 となるはずです。
従って、No.2 は下記のように訂正してください。

以下、訂正版。

途中で速度 v も使うので、まずは v=dx/dt を使って

　ｍ*dv/dt = -mg*sin(α) + μmg*cos(α)

の式を解きます。

まず、質量 m は両辺に共通なので、これで両辺を割って

　dv/dt = -g*sin(α) + μg*cos(α)

これを積分すれば

　v(t) = [ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t + C1　　　①

初期条件が、t=0 のとき dx/dt=v(0)=-V0 なので
　v(0) = [ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * 0 + C1 = C1 = -V0
よって、積分定数は
　C1 = -V0
であり、①は

　v(t) = [ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t - V0　　　②

となります。

dx/dt=v(t) であることから、②は

　dx/dt = [ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t - V0　　　②’

これを積分して、

　x(t) = (1/2)[ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t^2 - V0*t + C2　　　③

初期条件が、t=0 のとき x=0 なので
　x(0) = (1/2)[ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * 0^2 - V0*0 + C2 = C2 = 0
よって、積分定数は
　C2 = 0
であり、③は

　x(t) = (1/2)[ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t^2 - V0*t　　　④

となります。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

なお、本当に dx/dt = V0 > 0 であれば、初速度は「斜面上昇方向」ですから運動は「降下」ではなく「上昇」で、速度が次第に遅くなって停止するという運動です。
その場合には、摩擦は運動方向と逆の「斜面下向き」に働きますので、運動方程式は

　ｍ*dv/dt = -mg*sin(α) - μmg*cos(α)

となります。（質問者さん立式が正しい）

まず、質量 m は両辺に共通なので、これで両辺を割って

　dv/dt = -g*sin(α) - μg*cos(α)

これを積分すれば

　v(t) = [ -g*sin(α) - μg*cos(α) ] * t + C1　　　①

初期条件が、t=0 のとき dx/dt=v(0)=V0 >0 なので
　v(0) = [ -g*sin(α) - μg*cos(α) ] * 0 + C1 = C1 = V0
よって、積分定数は
　C1 = V0
であり、①は

　v(t) = [ -g*sin(α) - μg*cos(α) ] * t + V0　　　②

となります。

dx/dt=v(t) であることから、②は

　dx/dt = [ -g*sin(α) - μg*cos(α) ] * t + V0　　　②’

これを積分して、

　x(t) = (1/2)[ -g*sin(α) - μg*cos(α) ] * t^2 + V0*t + C2　　　③

初期条件が、t=0 のとき x=0 なので
　x(0) = (1/2)[ -g*sin(α) - μg*cos(α) ] * 0^2 + V0*0 + C2 = C2 = 0
よって、積分定数は
　C2 = 0
であり、③は

　x(t) = (1/2)[ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t^2 + V0*t　　　④

となります。

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/11/10 09:11

この問題、降下といっているが初期条件を見ると速度は上向きになっている。

何か間違ってませんか。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/10 00:59

No.2です。

補足です。

「初期条件」とは、微分方程式を解いたときの「積分定数」を確定するための条件です。それ以上でもそれ以下でもないので、まずは運動方程式として記述した「微分方程式」を解くというのが通常の手順です。

運動方程式から得られる加速度は、a = dv/dt なので、まずは「速度に関する微分方程式」を解いて「速度」を求めます。

次に、その「速度」の式から、v = dx/dt なので「変位に関する微分方程式」を解いて「変位」を求めます。

各々の微分方程式を解く段階で、関連する「初期条件」を使って積分定数を確定させます。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/10 00:52

No.1です。

＞m(d^2x/dt^2)=-mgsinα-μmgcosα
＞このようになりました。

了解です。ただ、残念ながら符号が違っていますね。
上向きを正とすれば、重力は下向きなので「負」、滑り降りるときの摩擦力は上向きなので「正」になります。
従って、

　d^2x/dt^2 = -mg*sin(α) + μmg*cos(α)

が正解です。

ただし、途中で速度 v も使うので、まずは v=dx/dt を使って

　ｍ*dv/dt = -mg*sin(α) + μmg*cos(α)

の式を解きます。

まず、質量 m は両辺に共通なので、これで両辺を割って

　dv/dt = -g*sin(α) + μg*cos(α)

これを積分すれば

　v(t) = [ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t + C1　　　①

初期条件が、t=0 のとき dx/dt=v(0)=V0 なので
　v(0) = [ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * 0 + C1 = C1 = V0
よって、積分定数は
　C1 = V0
であり、①は

　v(t) = [ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t + V0　　　②

となります。

dx/dt=v(t) であることから、②は

　dx/dt = [ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t + V0　　　②’

これを積分して、

　x(t) = (1/2)[ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t^2 + V0*t + C2　　　③

初期条件が、t=0 のとき x=0 なので
　x(0) = (1/2)[ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * 0^2 + V0*0 + C2 = C2 = 0
よって、積分定数は
　C2 = 0
であり、③は

　x(t) = (1/2)[ -g*sin(α) + μg*cos(α) ] * t^2 + V0*t　　　④

となります。

以上です。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/11/10 00:22

＞降下する運動方程式は立てることができましたが

「補足」に書いてみてください。