円錐の一部分の体積を求める方法

Question

円錐の体積を求める公式は
（底面の半径×底面の半径×円周率×高さ）÷３
とのことですが、この場合、高さが与えられている必要があります。

では、円錐形の一部分、
「底からある程度の高さの部分で水平に分割した、台座の部分の体積を求める」
にはどうしたらいいですか？

例えば、ここに、紙コップやバケツを伏せて置いたような、円錐の一部分の物体があります。
底面の形状は円、半径はｘ、
上面の形状は円、半径はｙ（但しｘ＞ｙである）
高さはｈです


仮に、円錐が完全だった場合の「円錐の高さ」が与えられていたならば、
「円錐全体の体積から、失われた部分の体積を除けば、台座部分の体積となる」
という解き方ができるでしょうが、この問題の場合、
円錐が完全だった場合の「円錐の高さ」
は与えられていません。

頭の良い人はどうやって解くのでしょうか？
（高さとｘ、ｙの比から、側面の角度を計算し、そこから「円錐が完全だった状態の高さ」を算出して、さらにそこから「円錐全体の体積から、失われた部分の体積を除けば、台座部分の体積となる」
という方法は、遠回りですよね・・・）

ORUKA1951 · Accepted Answer

間違えた・・nじゃなくh

念のためTex( https://ja.wikipedia.org/wiki/TeX )
V=\int^{h}_{0}\pi\left(\dfrac{r_{1}-r_{2}}{h}x+r^{2}\right)^{2}dx=\dfrac{\pih}{3}\left(r^{2}_{1}+r_{1}r_{2}+r^{2}_{2}\right)

むらさめ · Answer

私は頭が良いとは思えませんが、
円錐の真の高さHとして、半径と台の高さhが与えられているので
高さhとｘ、x-yの比から、
H:x=h:(x-y)　→　Ｈ=h･x/(x-y)　で円錐の真の高さを求めます
後は、
「円錐全体の体積から、失われた部分の体積を除けば、台座部分の体積となる」
ですね。

kairou · Answer

＞・・・という方法は、遠回りですよね・

遠回りでは無く、其れしかないのではないでしょうか。

＞高さとｘ、ｙの比から、側面の角度を計算し、

半径 x を底面とする円錐形と半径 y を底面とする円錐形は相似形ですよね。
ならば、比の値から直接高さが求めたほうが簡単でしょう。

springside · Answer

あなたがどのように感じようとも、その「遠回り」の方法しかあり得ません。

syotao · Answer

実は、その遠回りの方法で、体積Ｖをｘ、ｙ、ｈ、π(円周率)であらわすことができます。
答えは
Ｖ＝(πｈ/3)(ｘ²＋ｘｙ＋ｙ²)　です。
証明には因数分解、ｘ³－ｙ³＝(ｘ－ｙ)(ｘ²＋ｘｙ＋ｙ²)をつかいます。

kairou · Answer

Ｎｏ２です。
「半径 x を底面とする円錐形と半径 y を底面とする円錐形は相似形ですよね。
ならば、比の値から直接高さが求めたほうが簡単でしょう。」と書きましたが、
相似の円錐形ならば、比の値を使って直接体積を求める事が出来ると思います。

全体の大きな円錐形の体積と切り取られた円錐形の体積の比は
夫々の底面の半径の３乗の比に等しい筈です。
多分その答えがＮｏ４の方の答えだと思います。
（私は試してはいませんが。）

ORUKA1951 · Answer

積分の最初あたりで学ぶ円錐台ですね。
底面積の変化を積分するとよい。添付
　・・・数学勉強してれば、最初に思いつくのがこれ。

あるいは、回転体の積分でも同じ答えが出る。通常はこちらが多いかと思います。
円錐台の体積( http://sky.geocities.jp/bunryu1011/ensuidai1.htm )

円錐の一部分の体積を求める方法

私は頭が良いとは思えませんが、

＞・・・という方法は、遠回りですよね・

あなたがどのように感じようとも、その「遠回り」の方法しかあり得ません。

実は、その遠回りの方法で、体積Ｖをｘ、ｙ、ｈ、π(円周率)であらわすことができます。

Ｎｏ２です。

積分の最初あたりで学ぶ円錐台ですね。

間違えた・・nじゃなくh

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