図2の回路で交流電圧源Vは実効値Veを一定に保ちながら周波数fを変化させることができる。R1= 99R,R2=R として以下の問に答えよ。但し、設問 (1)~(3) で の実効値|V0|は、VeとCとR とωの式で表すこと。
(1) ω =2πf ≪ 1/100CRのときの |V0| を求めよ
(2) 1/100CR≪ ω≪1/CR のときの|V0|を求めよ
(3) 1/CR≪ ωのときの |V0| を求めよ。
(4) R=199(Ω) ,C= 0.8 (μF) 、Ve= 10[V] のとき、|V0| の周波数特性の概形を両対数方眼紙に描け(座標軸や目盛りや単位を書き忘れないこと)
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
交流のインピーダンス計算はできますね?
この図の場合、回路全体のインピーダンスは、ω=2パイf として
Z = R1 + R2 + 1/jωC
です。従って、回路全体の電流は
I = Ve/(R1 + R2 + 1/jωC)
= Ve*[(R1 + R2) - 1/jωC)/[(R1 + R2)^2 - (1/jωC)^2 ]
= Ve*[(R1 + R2) + j/ωC)/[(R1 + R2)^2 + (1/ωC)^2 ] ①
従って
Vo = I * (R2 + 1/jωC)
= (R2 + 1/jωC)*Ve*[(R1 + R2) + j/ωC)/[(R1 + R2)^2 + (1/ωC)^2 ]
= (R2 - j/ωC)*Ve*[(R1 + R2) + j/ωC)/[(R1 + R2)^2 + (1/ωC)^2 ]
= Ve*{ [ R2(R1 + R2) + (1/ωC)^2 ] + j[ R2 - (R1 + R2) ]/ωC } / [(R1 + R2)^2 + (1/ωC)^2 ]
= Ve*{ [ R2(R1 + R2) + (1/ωC)^2 ] - jR1/ωC } / [(R1 + R2)^2 + (1/ωC)^2 ]
= Ve*{ [ R2(R1 + R2)(ωC)^2 + 1 ] - jR1*ωC } / [(R1 + R2)^2 (ωC)^2 + 1 ] ②
これは
Vo = Ve - I*R1 ③
で求めても、
Vo = Ve * (R2 + 1/jωC)/(R1 + R2 + 1/jωC) ④
で求めても同じ答になります。
②に R1= 99R, R2=R の条件を代入して
Vo = Ve*{ [ R*100R*(ωC)^2 + 1 ] - j99R*ωC } / [(100R)^2 (ωC)^2 + 1 ]
= Ve*{ [ 100*(ωCR)^2 + 1 ] - j99ωCR } / [ 10000(ωCR)^2 + 1 ] ⑤
よって絶対値は
|Vo| = Ve*√{ [ 100*(ωCR)^2 + 1 ]^2 + (99ωCR)^2 } / [ 10000(ωCR)^2 + 1 ]
= Ve*√[ 10000*(ωCR)^4 + 200(ωCR)^2 + 1 + 9801(ωCR)^2 ] / [ 10000(ωCR)^2 + 1 ]
= Ve*√[ 10000*(ωCR)^4 + 10001(ωCR)^2 + 1 ] / [ 10000(ωCR)^2 + 1 ] ⑥
あとは、与えられた条件で⑥の「近似値」を求めます。
ただし、条件が不明確ですね。
(1)ω =2πf << 1/(100CR) ですか? つまり「ωCR は、1/100 に比べてはるかに小さい」ということ?
それなら
10000(ωCR)^4 << 1
10000(ωCR)^2 << 1
ですので、
|Vo| ≒ Ve
となります。
(2)は、 1/(100CR) << ω << 1/CR だとおかしいので、単なる不等号で
1/(100CR) < ω < 1/CR
でしょうか? それであれば
1/100 < ωCR < 1
なので
|Vo| ≒ (√2 /100 ~ √2 /2)Ve
かな。
(3)1/CR << ω なら 1<< ωCR なので、⑥の分子分母を ωCR で割って、1/ωCR << 1 を使って
|Vo| ≒ (1/100)Ve
かな。
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