高校数学２ 整式P(X)を（X-1)（X＋１）＾２で割った時の余りの置き方についての質問です！

問題
ｘの整式P(X)をｘ－１で割った時の余りが２であり、（ｘ＋１）＾２で割った時の余りが２ｘ＋５であるとする。P(X)を（ｘ－１）（ｘ＋１）＾２で割った余りを求めよ。

この時に普通は余りをAx^2+Bx+Cと置くのですが、①a(x+1)^2+bx+cや②a(x+1)^2+b(x+1)+cなどと置いても良いと思いますか？

自分の考えでは、①を展開するしAx^2+Bx+Cと係数を比較すると、A＝a B=2a+b C=a+c
となり、全ての二次関数を表せるAx^2+Bx+Cの係数A,B,Cを定めれば、a,b,cは一意的に定まるので、①のように余りを置いても良いと思います。②も同様です。
一意的を「ただ一つだけに」という意味で使ったのですが、使い方あっているかも教えて下さい！

ご回答宜しくお願いします！<(_ _)>

No.2 ベストアンサー 回答者： kacchann 回答日時： 2017/03/31 04:03

>(ｘ＋１）＾２ですぐにくくれ、かつそのときの余りは条件にあるので、

>一気にｂ＝２　ｃ＝５と定まります

そのとおり。
ただ、
それだったら最初から
ダイレクトにあまりを
a(x+1)^2 + 2x+5

とおいていいよね。

問題文の
「（ｘ＋１）＾２で割った時の余りが２ｘ＋５であるとする」
という部分をみて、
「その条件」をそのまま、
「(（ｘ－１）（ｘ＋１）＾２で割った)あまりに反映させる」かんじ。

この回答へのお礼

なるほど！確かにダイレクトにできますね！
ご回答ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/31 13:31

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/03/30 19:48

意味的には、この場合は、合っていると思います。

しかし置き換えるのであれば、メリットがなければ、置き換える意味がないでしょう！(かえって、わかりにくくなるのでは？)もし、そうでないならば、置き換えにメリットある具体的な例をおねがいします？

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
メリットと言えるかどうかは分かりませんが、①を使うとしたら、（ｘ＋１）＾２ですぐにくくれ、かつそのときの余りは条件にあるので、一気にｂ＝２　ｃ＝５と定まります。そしてｘ－１で割った時の余りが２という条件を使えばaの値が求まります。
普通よりちょっと早く解ける気がするのですが、どう思いますか？
因みに、②を使うメリットはありませんｗ

お礼日時：2017/03/30 21:13