自明でない解を持つとき、行列式│A│＝0を利用し、二つの二次方程式の係数の条件を定める 独学で行列式

自明でない解を持つとき、行列式│A│＝0を利用し、二つの二次方程式の係数の条件を定める

独学で行列式について勉強しています。質問できる方が身近にいないのでここで質問させていただきます。

https://www.fastpic.jp/images.php?file=694707627 …
https://www.fastpic.jp/images.php?file=496601559 …
上の画像の問題の解き方について
どうしてそんな解き方ができるのかがわかりません。
どなたかおしえていただけませんか。

質問者からの補足コメント

• 二つ目の画像がその条件です。

    補足日時：2017/03/31 16:48

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/04/01 15:01

えっと, 要するに, こういうことでしょうか.

画像 2 枚目の等式が成り立つことは,
画像 1 枚目の 2 つの方程式が共通根をもつための,
必要条件であることは明らかだが,
十分条件になっているかどうか, けっこう怪しいですよ.

という解釈で, よろしいですか.

0 a b c
a b c 0
0 p q r
p q r 0

上の行列を A とすると, rankA ≧ 2 であることは明らかです.
rankA = 4 のとき, 共通根は存在しません.
rankA = 2 のとき, 2 つの方程式は実質的に同一なので, 共通根は存在するに決まっています.
よって, 調べる必要があるのは, rankA = 3 の場合です.
まず, 御自分で調べてみてください.
私自身で調べてみましたが, 意外と時間が掛かりました.
結論だけ述べると, 間違いなく必要十分条件になっています.

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/04/01 02:12

うぅ～んと.... うん, 確かに証明できる.

一般論は面倒なので「『終結式』で検索するといいよ」と投げておこう.

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/03/31 19:01

うーん...

お礼欄に書かれていることの意味が, よく分からないのですが...
少し複雑に考えすぎているのではないでしょうか.
以下の連立方程式を, 行列を用いて書き表してみてください.
それにより, あっさり解決すると思います.

0λ^3 + aλ^2 + bλ + c * 1 = 0
aλ^3 + bλ^2 + cλ + 0 * 1 = 0
0λ^3 + pλ^2 + qλ + r * 1 = 0
pλ^3 + qλ^2 + rλ + 0 * 1 = 0

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
記載してくださった式の行列式が0であれば自明でない解をλ³、λ² 、λ、1がそれぞれ持つことはよくわかるのですが、その行列式が0という条件は
ay+bz+cw＝0
ax+by+cz ＝0
py+qz+rw ＝0
px+qy+rz ＝0
のx,y,z,wが自明でない解を持つ条件と同じということになります。
画像の問と
ay+bz+cw＝0
ax+by+cz ＝0
py+qz+rw ＝0
px+qy+rz ＝0
のx,y,z,wが自明でない解を持つ条件は同じなのですか。

お礼日時：2017/03/31 19:19

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/03/31 18:18

あまり難しく考えなくても, 単に 1 ≠ 0 だから, という解釈で構いません.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
二つ目の画像の条件式には未知数がλ³、λ²、λ、１という関係であることが反映されていないように思えます。
つまり
ay+bz+cw＝0
ax+by+cz ＝0
py+qz+rw ＝0
px+qy+rz ＝0
が自明でない解をもつ条件というのが2枚目の画像であるとおもうのです。
x＝λy＝λ²z＝λ³w＝λ³ という情報が二枚目の画像にどうして織り込まれているのですか。
伝わりにくく、ごめんなさい。

お礼日時：2017/03/31 18:45